matematikk.net

Hei! Jeg har denne ligningen:

(y^3) -xy + 1 = 0

f(2) = 1

-Jeg skal finne en tangent i (2,1), og dermed har jeg først sjekket at punktet finnes ved å sette inn.
-Så må jeg derivere funksjonen med hensyn på x, fordi jeg vil finne f'(x), så jeg kan finne stigningstallet til tangentligningen.
-Det er her jeg er litt forvirret; jeg skjønner at man må finne y' = , men derivasjonsprosessen forvirrer meg litt. Fasitten sier at den skal deriveres med hensyn på x, og ser slik ut etter første operasjon.

(3y^2 * y') - (y +xy')

-Den har altså derivert y^3 vanlig, for så å slenge på en y', mens på andre siden har den satt derivert-tegn på y'en, og slengt på en y.
-Slik jeg forstår det er det IKKE delvis derivasjon, fordi y er selve funksjonen, og ikke en egen variabel.
-Kan noen forklare meg hva slags regler som brukes her? Er det (f(u))' elns.?

For å derivere [tex]y^3[/tex] med hensyn på [tex]x[/tex] må du bruke kjerneregelen. Det er der [tex]y'[/tex] kommer fra.
[tex]\Big( y(x)^3 \Big)'=3y(x)^2\cdot y'(x)[/tex]
For å derivere [tex]xy[/tex] med hensyn på x må du bruke produktregel.
[tex]\Big(x\cdot y(x) \Big)'=x'\cdot y(x)+x\cdot y(x)'[/tex]
[tex]y(x)[/tex] kan jo bestå av en hvilken som helst indre funksjon og det er derfor man bruker kjerneregelen.

[tex]f(x,y) = y^3-xy = 0[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial{}f}{\partial{}x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} + \frac{\partial{}f}{\partial{}y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = -y+(3y^2-x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0[/tex]

Stringselings wrote:For å derivere [tex]y^3[/tex] med hensyn på [tex]x[/tex] må du bruke kjerneregelen. Det er der [tex]y'[/tex] kommer fra.
[tex]\Big( y(x)^3 \Big)'=3y(x)^2\cdot y'(x)[/tex]
For å derivere [tex]xy[/tex] med hensyn på x må du bruke produktregel.
[tex]\Big(x\cdot y(x) \Big)'=x'\cdot y(x)+x\cdot y(x)'[/tex]
[tex]y(x)[/tex] kan jo bestå av en hvilken som helst indre funksjon og det er derfor man bruker kjerneregelen.

Takker! I noen eksamensopgaver er det forskjell på om det står y eller y(x), men i praksis betyr det det samme?

Torbs wrote:

Stringselings wrote:For å derivere [tex]y^3[/tex] med hensyn på [tex]x[/tex] må du bruke kjerneregelen. Det er der [tex]y'[/tex] kommer fra.
[tex]\Big( y(x)^3 \Big)'=3y(x)^2\cdot y'(x)[/tex]
For å derivere [tex]xy[/tex] med hensyn på x må du bruke produktregel.
[tex]\Big(x\cdot y(x) \Big)'=x'\cdot y(x)+x\cdot y(x)'[/tex]
[tex]y(x)[/tex] kan jo bestå av en hvilken som helst indre funksjon og det er derfor man bruker kjerneregelen.

Takker! I noen eksamensopgaver er det forskjell på om det står y eller y(x), men i praksis betyr det det samme?

Slik jeg tolket oppgaven var at man skulle finne tangent i punktet [tex](2,1)[/tex] for funksjonen [tex]y(x)[/tex], hvor funksjonen [tex]y[/tex] er gitt på implisitt form [tex]y^3-xy+1=0[/tex]. Da er jo [tex]y[/tex] og [tex]y(x)[/tex] det samme, og man kan bruke implisitt derivasjon, slik jeg gjorde.
Hvis du er oppgitt i oppgaven en funksjon [tex]g(x,y)=y^3-xy+1[/tex] så er [tex]y[/tex] en variabel og ikke en funksjon av [tex]x[/tex].