matematikk.net

Hei! Eg stoppa opp følgende oppgave.

Finn alle komplekse tall z slik at [tex]Im(-z+i)=(z+i)^2[/tex]

Jeg vet hva Im gjør, den skal jo få frem den imaginæredelen av z. Jeg startet med å sette z = a+bi. Men jeg kommer absolutt ingen steds av gårde. Derfor trenger jeg stort med hjelp her.

Tusen takk!

Hint: Husk at imaginærdelene må være like, og realdelene må være like. Når du har ekspandert med $z = a+bi$ får du to likninger med to ukjente, $a, b$.

Aleks855 wrote:Hint: Husk at imaginærdelene må være like, og realdelene må være like. Når du har ekspandert med $z = a+bi$ får du to likninger med to ukjente, $a, b$.

Ok, vel, jeg ser ikke helt hvor jeg skal gå videre frem:

[tex]Im(-(a+bi)+i)=(a+bi+i)^2[/tex]

[tex]Im(-(a+bi)+i)=a^2+2iab+2ia-b^2-2b-1[/tex]

Jeg ser f. eks at [tex]-b^2-2b-1=0[/tex] gir [tex]b=-1[/tex]

Jeg ser virkelig ikke hva jeg skal gjøre videre her. Dette er uten tvil noe av det verste jeg har vært borte i når de gjelder komplekse all og ligninger, og dem har jeg gjort mange av til nå.
Jeg forstår at de imaginære- og realdelene skal være lik. Men hvilke ligninger skal løses? Jeg vet heller ikke hva Im på venstre side skal hjelpe meg med. Etter det jeg kan se, så får den frem 1-b.

$\mathrm{Im}(-(a+bi)+i)= \mathrm{Im}(-a+(1-b)i) = 1-b$

Husk at når du har et komplekst tall på formen $z = a+bi$ så er $\mathrm{Im}(z) = b$

Aleks855 wrote:$\mathrm{Im}(-(a+bi)+i)= \mathrm{Im}(-a+(1-b)i) = 1-b$

Husk at når du har et komplekst tall på formen $z = a+bi$ så er $\mathrm{Im}(z) = b$

Det vet jeg; jeg skrev det nederst i det siste innlegget, altså at venstre side vil gi [tex]1-b[/tex]

[tex]1-b=a^2+2iab+2ia-b^2-2b-1[/tex]

[tex]0=a^2+2iab+2ia-b^2-b-2[/tex]

Så hvis b er ikke lik -1 som jeg fant over, hva kan jeg gjøre i dette siste uttrykket jeg skrev ut for å finne b og a?

ThomasSkas wrote:Hei! Eg stoppa opp følgende oppgave.

Finn alle komplekse tall z slik at [tex]Im(-z+i)=(z+i)^2[/tex]

Jeg vet hva Im gjør, den skal jo få frem den imaginæredelen av z. Jeg startet med å sette z = a+bi. Men jeg kommer absolutt ingen steds av gårde. Derfor trenger jeg stort med hjelp her.

Tusen takk!

$Im(-z+ i) = (z+i)^2$.

Skriv $z= x + iy,\space x, y \in \mathbb{R}.\\

Im(-x-iy+i) = (x + i(y+1))^2 \\
1 - y = x^2 +2x(y+1)i - (y+1)^2.$

Match reelle og imaginære koeffisienter:
Im: $ 2x(y+1) = 0,$ så $x=0$ eller $y=-1$.

Hvis $x=0: \\
1-y = -(y+1)^2 \\
y^2 + y + 2 = 0$
Ingen reell løsning (husk at vi krever at $y \in \mathbb{R}$).

Hvis $y=-1$:
$2 = x^2$, så $x= \pm \sqrt 2.$

Dermed får vi løsningene $z = \pm \sqrt 2 - i$.