matematikk.net

Hei !

Int(sqrt(cos(2*t)),t=0..x

Har brukt sub u=2t og cos(2t) uten hell

Noen tips?

Vilma

Integralet er ikke mulig å uttrykke ved standard matematiske funksjoner. Hvorfor tror du at det skal være mulig / hvor har du fått oppgaven fra`?

I tillegg så er det slik at integralet ikke konvergerer når $\cos 2t < 0$ som for eksempel skjer når $t \in (\pi/4 , 3\pi/4)$. Mao konvergerer ikke integralet ditt om $x > \pi/2$.

Vi kan dog skrive

$ \hspace{1cm}
\int_0^x \sqrt{ \cos 2t } \,\mathrm{d}t
= \int_0^x \sqrt{ \cos^2 t - \sin^2 t } \,\mathrm{d}t
= \int_0^x \sqrt{ 1 - (\sqrt{2})^2 \sin^2 t} \,\mathrm{d}t
= E( \sqrt{2} , x)
$

Igjen forutsatt at $x \in (0, \pi/2)$. Her beskriver $E(\sqrt{2}, x)$ et elliptisk integral av første grad, https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral.

Takk for svar.

Integralet skal brukes til å beregne buelengden fra x= o..pi/4.

Tatt fra Kalkulus, Lorentsen og co

Vilma

Kan du legge ved oppgaven i sin helhet? Har Kalkulus fremme men klarer ikke å finne oppgaven du refferer til. Dersom du finner buelengden av $\cos(2t)$ vil du ende opp med nok et elliptisk integral.

Det er den røde boka. Kapitell om buelengde.
Oppgave 1c.

Finn buelengden. Så dette gitt uttrykket

Vilma

Har dessverre bare boken som heter Kalkulus og den er forøvrig grønn..

Slik jeg ser det er det tre muligheter

a) Du skal beregne omdreiningslegemet av $y = \sqrt{\cos 2t} \,\mathrm{d}t$ fra $x = 0$ til $x = \pi/4$

b) Du skal beregne buelengden av $f(x) = \int_0^x \sqrt{\cos 2t} \,\mathrm{d}t$ fra $x = 0$ til $x = \pi/4$

c) Du skal beregne $y = \int_0^x \sqrt{1 + \cos 2t} \,\mathrm{d}t$ fra $x = 0$ til $x = \pi/4$

Alternativ a) gir et veldig enkelt integral når du bruker formelen for omdreiningslegemet $\pi \int y(x)^2 \mathrm{d}x$. Mens b) og c) leder begge frem til samme integralet.
Dette er jo fordi $F(x) = \int_0^x f(x)\,\mathrm{d}x \Leftrightarrow F'(x) = f(x)$ fra analysens fundamentaltheorem.

For å løse integralet trenger du bare å bruke at $1 = \cos^2x + \sin^2x$ og $\cos 2x = \cos^2x - \sin^2x$ og $\cos x > 0$ når $0 \leq x \leq \pi/4$.

Svaret skal være 1

Vilma

Og det får du av å løse b) eller c).

Takk for tolmodigheten!!!

Vilma