matematikk.net

Sliter med å forstå en oppgave;
"Gitt en diagonaliserbar 2x2 matrise A der summen av diagonalelementene er 2 og hvor en av egenverdiene er 3. Finn alle egenverdiene til invers matrisen til A"

- Jeg ser for meg hvordan jeg finner egenverdiene hvis jeg var oppgitt Determinanten, men jeg forsto ikke helt formuleringen " summen av diagonalelementene er 2". Hva vil det si?

Gjest wrote:Sliter med å forstå en oppgave;
"Gitt en diagonaliserbar 2x2 matrise A der summen av diagonalelementene er 2 og hvor en av egenverdiene er 3. Finn alle egenverdiene til invers matrisen til A"

- Jeg ser for meg hvordan jeg finner egenverdiene hvis jeg var oppgitt Determinanten, men jeg forsto ikke helt formuleringen " summen av diagonalelementene er 2". Hva vil det si?

La $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Vi vet at $tr(A) = a + d = 2$ og at $A$ har $3$ som en egenverdi.

Vi bruker formelen for det karakteristiske polynomet til $A$:
$\chi_A(x) = x^2 - tr(A)x + \det A = x^2 - 2x + \det A$.

For å finne egenverdiene til A setter vi $\chi_A(x) = 0$. Annengradsformelen gir så
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4\det A}}{2} = 1 \pm \sqrt{1-\det A}$.

Vi vet at $x=3$ er en rot til $\chi_A$, så vi må ha at $1 + \sqrt{1-\det A} = 3. \therefore 1 - \det A = 4$, så $\det A = -3$.

Derfor blir $A^{-1} = -\frac{1}{3}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. Spesielt merker vi at $ tr(A^{-1}) = -\frac{1}{3} tr (A)$.

Så $\chi_{A^{-1}}(x) = x^2 - tr(A^{-1})x + \det A^{-1} = x^2 +\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$, som har røtter $x = \frac{-\frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{3}}}{2} = -\frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{\frac{16}{9}}}{2} = -\frac{1}{3} \pm \frac{2}{3}$.

Ettersom $x$ er en egenverdi av $A^{-1} \iff \chi_{A^{-1}}(x) = 0$, har vi at egenverdiene til $A^{-1}$ må være $-1$ og $\frac{1}{3}$.