matematikk.net

En stor del av matematikken i VGS og universitet handleer om Geometri. Dette er også veldig sentralt i konkurranser (type abel, IMO, NMC osv...) Tenkte derfor å lage en liten tråd der vi kan samle opp mange geometriske teoremer/ generaliseringenr av problemstillinger som kan hjelpe andre folk. Noen som er med? Det er jo uansettt blitt bevist gjennom kartlegginsprøver at Norge scorer dårligst på temaet: Geometri. Hva kan grunnen være mon tro?


Alle er fri til å komme med innspill og forhåpentligvis vil dette være en fruktbar tråd med intiativ fra alle kanter

Det er i hovedsak geometri og vektorregning som hører hjemme.

Her kan man legge ut alt: euklidsk geometri, nyttige egenskaper ved figurer (sirkler, trekanter) osv.. Helst bør dette være ting som ikke er så opplagte for allmennheten, men gjennom å legge ut disse kan mange få en "aha" opplevelse og sammen kan vi styrke nivået.

Abonnerer. Visste forøvrig ikke at det var bevist at geometri er der hvor elever er svakest. Men det stemmer nok for min del.

Noen forslag til teoremer (som ikke er pensum i vgs.):

$\star$ Cevas´ teorem
$\star$ Menelaus´teorem
$\star$ Pappus´ hexagon teorem
$\star$ Pascals teorem
$\star$ Sommerfuglteoremet (Butterfly theorem)
$\star$ Stewarts teorem
$\star$ "British flag theorem"
$\star$ Desargues' teorem
$\star$ Brianchons teorem
$\star$ "Seven circles theorem"
$\star$ Vivianis teorem
$\star$ Cloughs teorem

Jeg har ikke tid til å utdype noe akkurat nå, men kan oppdatere innlegget med statements, bevis og relaterte oppgaver senere.

plutarco wrote:Noen forslag til teoremer (som ikke er pensum i vgs.):

$\star$ Cevas´ teorem
$\star$ Menelaus´teorem
$\star$ Pappus´ hexagon teorem
$\star$ Pascals teorem
$\star$ Sommerfuglteoremet (Butterfly theorem)
$\star$ Stewarts teorem
$\star$ "British flag theorem"
$\star$ Desargues' teorem
$\star$ Brianchons teorem
$\star$ "Seven circles theorem"
$\star$ Vivianis teorem
$\star$ Cloughs teorem

Jeg har ikke tid til å utdype noe akkurat nå, men kan oppdatere innlegget med statements, bevis og relaterte oppgaver senere.

Flott! Setter pris på at du tar intiativ. Høres spennende ut! Håper flere synes dette er et intereressant prosjekt som skal berike matematikk.net ! og forhåpentligivs styrke dette emnet .. Det trenger ikke å være så mange fancy teoromer heller (til tross for at det er kjempe spennende), men synes vi burde åpne for mer trivielle. som for eksempel: Bevis at tangentene til en sirkel danner en rett vinkel osv.. (1T, S1, R1, R2, S2) - geometri aktuelle som kommer på eksamen, prøver, temaer, men bare et lite dykk i teoremet osv...

ProEu wrote:Det er jo uansettt blitt bevist gjennom kartlegginsprøver at Norge scorer dårligst på temaet: Geometri. Hva kan grunnen være mon tro?

Kanskje ikke så rart siden geometri er nedprioritert på vgs. for tida. Eksamenene de siste årene inneholder heller ikke mye geometri, og geometri på universitetsnivå er heller ikke veldig i vinden. "Problemet" er vel at emnet er særdeles teoretisk og av kun akademisk interesse på lavere nivå. Ingen yrker behøver geometri utover det helt grunnleggende (pytagoras). Det eneste man behøver fiffige elementære teoremer innen klassisk geometri til er vel å løse intrikate olympiadeproblemer. Utover det dekker trigonometri og funksjonsdrøfting alt man behøver i praktiske sammenhenger.

plutarco wrote:Noen forslag til teoremer (som ikke er pensum i vgs.):

$\star$ Cevas´ teorem
$\star$ Menelaus´teorem
$\star$ Pappus´ hexagon teorem
$\star$ Pascals teorem
$\star$ Sommerfuglteoremet (Butterfly theorem)
$\star$ Stewarts teorem
$\star$ "British flag theorem"
$\star$ Desargues' teorem
$\star$ Brianchons teorem
$\star$ "Seven circles theorem"
$\star$ Vivianis teorem
$\star$ Cloughs teorem

Jeg har ikke tid til å utdype noe akkurat nå, men kan oppdatere innlegget med statements, bevis og relaterte oppgaver senere.

Abonnerer jeg og!

Videre forslag til teoremer/nyttige egenskaper og diverse.:
[tex]\star[/tex] " Euler line"
[tex]\star[/tex] "The Euler line and the nine-point circle" (tilfellet av Euler linjen)
[tex]\star[/tex] "Ptolemy's Theorems"
[tex]\star[/tex] "The extend Law of Sines (aktuell under eksamen 2015 vår for R1)
[tex]\star[/tex] "Power of a Point"
[tex]\star[/tex] "Incircle and excircles of a triangle"
[tex]\star[/tex] "Tangent lines to circles"
[tex]\star[/tex] " Newton's theorem"


Høres ut som et stort prosjekt som er veldig tidkrevende. Det er vel derfor viktig at et gjensidig samarbeid tar sted og at alle parter tar intiativ hvis folk ønsker å begynne på et slikt prosjekt.

Kul tråd! Legger ved noen lemmaer som både er fine å kunne til konkurranser, og kule å brife med på vgs Notasjon: Tar utgangspunkt i trekanten $ABC$, med innsenter $I$, ortosenter $H$ og omsirkel $\Gamma$.

$\mathbf{Refleksjon \, av \, ortosenteret}:$ Refleksjonen av $H$ over en side i $\triangle ABC$ ligger på $\Gamma$. (Det spiller selvfølgelig ingen rolle hvilken av sidene vi velger.)

$\mathbf{Insenter/utsenter-lemmaet}:$ La vinkelhalveringslinjen til $A$ i $\triangle ABC$ møte $\Gamma $ igjen i $D\neq A$. Da er $D$ omsenteret i $\triangle BIC$, og refleksjonen av $I$ over $D$ er senter i sirkelen som tangerer $AB$ og $AC$, og $BC$ på motsatt side av innsirkelen. Dette punktet kalles gjerne trekantes $A$-utsenter (Siden vi tok utgangspunkt i $A$ her. Trekanten har også et $B$-utsenter, og et $C$-utsenter).

$\mathbf{Symmedianene}:$ La tangentene til $B$ og $C$ med hensyn på $\Gamma$ møtes i $P$. Da er $AP$ refleksjonen av medianen fra $A$ over vinkelhalveringslinjen fra samme punkt. Denne linjen ($AP$) kalles gjerne $A$-symmedianen til $\triangle ABC$. Slik som over har også symmedianer fra de to andre punktene, akkurat som vi har medianer fra alle punktene.

$\mathbf{Symmedianene \, 2}:$ Symmedianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt (slik som medianene!).

De to øverste lemmaene kan bevises ved litt vinkeljakt, mens det tredje gjerne bevises med sinussetningen/arealsetningen. Det siste følger umiddelbart fra noe som heter isogonale konjugater, eller så kan man eventuelt bruke trigonometrisk form av Cevas teorem (men det blir egentlig det samme). Dette var kun et bittelite utvalg, hvor jeg prøvde å halvveis ha en rød tråd (refleksjoner). Ellers ville jeg ikke stolt helt på mine egne oversettelser av begreper ovenfor.

stensrud wrote:Kul tråd! Legger ved noen lemmaer som både er fine å kunne til konkurranser, og kule å brife med på vgs

Hadde vært litt kult hvis plutarco/eller noen andre hadde skrevet litt under de forskjellige teoremene og lagt ut oppgaver for å virkelig stimulere til analytisk løsning av geometriprobelemer her på matematikk. net!

Bump! Få litt gang i denne tråden her.