matematikk.net

Det er en oppgave som ble gitt på eksamen hvor meste parten av oppgavene er helt ukjente for meg.
Oppgave:
[tex]f = x^3+4x+3 \in \mathbb{Z}_5[x]/[/tex]

(a) Forklar hvorfor [tex]F = \mathbb{Z}_5[x][/tex]/<f> er en kropp.
- denne er ok. f er irredusibel i [tex]\mathbb{Z}_5[x][/tex] hvilket betyr at det er et maksimalt ideal --> F er en kropp.

(b) Vis at [tex]\varphi : \mathbb{Z}_5[x]\rightarrow F[/tex] definert ved at [tex]\varphi(g) = g + <f>[/tex] er en ringhomomorfisme. Finn kjernen til [tex]\varphi[/tex].
- skjønner ikke hvordan jeg skal gå frem her når det ikke er så konkret. Vet at [tex]\phi (ab) = \phi(a)\phi(b)[/tex] og [tex]\phi (a+b) = \phi(a)+\phi(b)[/tex] må holde for at det skal være en ringhomomorfisme.

(c) Anta g og h er to elementer i [tex]\mathbb{Z}_5[x][/tex] hvor g har resten [tex]2x+1[/tex] og h har resten [tex]3x^2+x+4[/tex] ved divisjon med f. Finn restene til g+h og gh ved divisjon med f.
- denne er umulig for meg å få til. har ikke sett lignende før.

(d) La [tex]\alpha = x+<f> \in F[/tex] og [tex]\gamma = (2x+1)+<f> \in F[/tex]. Da er [tex]\beta = \left\{1,\alpha,\alpha^2\right\}[/tex] en basis for F over [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] (dette kan du ta for gitt). Uttrykk [tex]\gamma^{-1}[/tex] i basisen [tex]\beta[/tex].
- Syns denne er også er vanskelig. Kan en si at siden 1 er kongruent til 4 mod 5 er [tex]\gamma^{-1} = \gamma^4[/tex] ?
Hva vil isåfall neste steg være? hva er feks [tex]\gamma^2[/tex] ?

b)
2 kriterier som du sier:
i)
[tex]\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)[/tex]
ii)
[tex]\phi(g+h)=\phi(g)\,+\,\phi(h)[/tex]
så
Et element[tex]\,\,g \in Z_5[x][/tex] ligger i kjernen til [tex]\phi[/tex] hvis [tex]\phi(g)=0+<f>[/tex], [tex]g \in <f>[/tex] .
altså
[tex]\ker(\phi) =<f>.[/tex]
c)
To elementer a og b [tex]\in Z_5[x][/tex] har samme rest ved divisjon med f hvis og bare hvis
[tex]\phi(a) = \phi(b).[/tex] Derfor vil resten til a = g +h og til[tex]\,\,b = (2x +1)+(3x^2 + x +4)[/tex] ved divisjon
med f være like. Men fordi graden til [tex]b = 3x^2 +3x[/tex] er mindre enn graden til f er resten til b
ved divisjon med f bare b selv.
Tilsvarende er resten til a = gh og til [tex]b = (2x +1)(3x^2 + x +4[/tex]) ved divisjon med f like.
Fordi b = f +1 er resten til b ved divisjon med f = 1
d)
[tex]\phi(1)=1+<f>=[/tex][tex]\phi((2x +1)(3x^2 + x +4)) =\phi(2x +1)\phi(3x^2 + x +4)[/tex]
Dvs er [tex]\phi(3x^2 + x +4) = 3\alpha^2 + \alpha +4[/tex] inversen til [tex]\phi(2x +1) = 2\alpha+1 = \gamma[/tex]
endelig
[tex]3\alpha^2 + \alpha +4 = \gamma^{-1}[/tex]

Janhaa wrote:b)
2 kriterier som du sier:
i)
[tex]\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)[/tex]
ii)
[tex]\phi(g+h)=\phi(g)\,+\,\phi(h)[/tex]
så
Et element[tex]\,\,g \in Z_5[x][/tex] ligger i kjernen til [tex]\phi[/tex] hvis [tex]\phi(g)=0+<f>[/tex], [tex]g \in <f>[/tex] .
altså
[tex]\ker(\phi) =<f>.[/tex]
c)
To elementer a og b [tex]\in Z_5[x][/tex] har samme rest ved divisjon med f hvis og bare hvis
[tex]\phi(a) = \phi(b).[/tex] Derfor vil resten til a = g +h og til[tex]\,\,b = (2x +1)+(3x^2 + x +4)[/tex] ved divisjon
med f være like. Men fordi graden til [tex]b = 3x^2 +3x[/tex] er mindre enn graden til f er resten til b
ved divisjon med f bare b selv.
Tilsvarende er resten til a = gh og til [tex]b = (2x +1)(3x^2 + x +4[/tex]) ved divisjon med f like.
Fordi b = f +1 er resten til b ved divisjon med f = 1
d)
[tex]\phi(1)=1+<f>=[/tex][tex]\phi((2x +1)(3x^2 + x +4)) =\phi(2x +1)\phi(3x^2 + x +4)[/tex]
Dvs er [tex]\phi(3x^2 + x +4) = 3\alpha^2 + \alpha +4[/tex] inversen til [tex]\phi(2x +1) = 2\alpha+1 = \gamma[/tex]
endelig
[tex]3\alpha^2 + \alpha +4 = \gamma^{-1}[/tex]

tusen takk for svar!
men den siste deloppgaven henger jeg ikke helt med på. er det en annen måte å gjøre det på uten å bruke homomorfisme?