Oppgave om polynomdivisjon og kroppteori
Posted: 08/07-2016 18:00
Det er en oppgave som ble gitt på eksamen hvor meste parten av oppgavene er helt ukjente for meg.
Oppgave:
[tex]f = x^3+4x+3 \in \mathbb{Z}_5[x]/[/tex]
(a) Forklar hvorfor [tex]F = \mathbb{Z}_5[x][/tex]/<f> er en kropp.
- denne er ok. f er irredusibel i [tex]\mathbb{Z}_5[x][/tex] hvilket betyr at det er et maksimalt ideal --> F er en kropp.
(b) Vis at [tex]\varphi : \mathbb{Z}_5[x]\rightarrow F[/tex] definert ved at [tex]\varphi(g) = g + <f>[/tex] er en ringhomomorfisme. Finn kjernen til [tex]\varphi[/tex].
- skjønner ikke hvordan jeg skal gå frem her når det ikke er så konkret. Vet at [tex]\phi (ab) = \phi(a)\phi(b)[/tex] og [tex]\phi (a+b) = \phi(a)+\phi(b)[/tex] må holde for at det skal være en ringhomomorfisme.
(c) Anta g og h er to elementer i [tex]\mathbb{Z}_5[x][/tex] hvor g har resten [tex]2x+1[/tex] og h har resten [tex]3x^2+x+4[/tex] ved divisjon med f. Finn restene til g+h og gh ved divisjon med f.
- denne er umulig for meg å få til. har ikke sett lignende før.
(d) La [tex]\alpha = x+<f> \in F[/tex] og [tex]\gamma = (2x+1)+<f> \in F[/tex]. Da er [tex]\beta = \left\{1,\alpha,\alpha^2\right\}[/tex] en basis for F over [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] (dette kan du ta for gitt). Uttrykk [tex]\gamma^{-1}[/tex] i basisen [tex]\beta[/tex].
- Syns denne er også er vanskelig. Kan en si at siden 1 er kongruent til 4 mod 5 er [tex]\gamma^{-1} = \gamma^4[/tex] ?
Hva vil isåfall neste steg være? hva er feks [tex]\gamma^2[/tex] ?
Oppgave:
[tex]f = x^3+4x+3 \in \mathbb{Z}_5[x]/[/tex]
(a) Forklar hvorfor [tex]F = \mathbb{Z}_5[x][/tex]/<f> er en kropp.
- denne er ok. f er irredusibel i [tex]\mathbb{Z}_5[x][/tex] hvilket betyr at det er et maksimalt ideal --> F er en kropp.
(b) Vis at [tex]\varphi : \mathbb{Z}_5[x]\rightarrow F[/tex] definert ved at [tex]\varphi(g) = g + <f>[/tex] er en ringhomomorfisme. Finn kjernen til [tex]\varphi[/tex].
- skjønner ikke hvordan jeg skal gå frem her når det ikke er så konkret. Vet at [tex]\phi (ab) = \phi(a)\phi(b)[/tex] og [tex]\phi (a+b) = \phi(a)+\phi(b)[/tex] må holde for at det skal være en ringhomomorfisme.
(c) Anta g og h er to elementer i [tex]\mathbb{Z}_5[x][/tex] hvor g har resten [tex]2x+1[/tex] og h har resten [tex]3x^2+x+4[/tex] ved divisjon med f. Finn restene til g+h og gh ved divisjon med f.
- denne er umulig for meg å få til. har ikke sett lignende før.
(d) La [tex]\alpha = x+<f> \in F[/tex] og [tex]\gamma = (2x+1)+<f> \in F[/tex]. Da er [tex]\beta = \left\{1,\alpha,\alpha^2\right\}[/tex] en basis for F over [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] (dette kan du ta for gitt). Uttrykk [tex]\gamma^{-1}[/tex] i basisen [tex]\beta[/tex].
- Syns denne er også er vanskelig. Kan en si at siden 1 er kongruent til 4 mod 5 er [tex]\gamma^{-1} = \gamma^4[/tex] ?
Hva vil isåfall neste steg være? hva er feks [tex]\gamma^2[/tex] ?