matematikk.net

hvordan finner jeg den minste avstanden i fra en linje med parameterfremstillingen


x=3+2t
y=4+4t
z=2+8t

fra punktet A (0, 5, 3)


?takk på forjhånd

[tex]\ell:\left\{ \begin{array}{l}x=3+2t \\ y=4-4t \\ z=2+8t \\ \end{array} \right.[/tex] er parameterfremstillingen.
Tydelig er [tex]\vec{n_{\ell}}=\left [ 2,-4,8 \right ][/tex] en retningsvektor for linja.

Et tilfeldig punkt på linja er [tex]P=\left ( 3+2t,4-4t,2+8t \right )[/tex].

Dermed er

[tex]\vec{AP}=\left [ (3+2t)-0,(4-4t)-5,(2+8t)-3 \right ]=\left [ 3+2t,-1-4t,8t-1 \right ][/tex]

Denne står normalt på retningsvektoren:

[tex]\vec{AP}\perp\vec{n_{\ell}}\Leftrightarrow \vec{AP}*\vec{n_{\ell}}=0[/tex]

[tex]\left [ 3+2t,-1-4t,8t-1 \right ]*\left [ 2,-4,8 \right ]=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{42}[/tex]

Innsatt i [tex]\vec{AP}[/tex] gir dette: [tex]\vec{AP}=\left [ 3+2\left ( -\frac{1}{42} \right ),-1-4\left ( -\frac{1}{42} \right ) ,8\left ( -\frac{1}{42} \right )-1\right ]=\left [ \frac{62}{21},-\frac{19}{21} ,-\frac{25}{21}\right ][/tex][tex]\left |\vec{AP} \right |=\left | \left [ \frac{62}{21},-\frac{19}{21} ,-\frac{25}{21}\right ] \right |\approx 3.31[/tex]


Kan vel også regne ut vektoprodukt ved å tegne hjelpelinjer til en trekant og bruke sammenhengen at:

[tex]A=gh*\frac{1}{2}=vektorprodukt\left ( \vec{AB}*\vec{AC} \right )*0.5=\frac{\left | \vec{AB} \right |}{2}[/tex]