matematikk.net

En bifurkasjon, overalt der jeg ser det omtalt, beskrives som en "drastisk endring" ved miniskule endringer i en parameter.

Jeg forstår i stor grad hva dette går ut på, men er litt skeptisk over definisjonen. Hva kvalifiserer som en "drastisk endring"? Er det kun når en parameter-endring medfører endring i antall likevektspunkter?

For eksempel, gitt $y' = Ay + y^3$ så har vi ETT likevektspunkt, $y=0$ når $A>0$.

Derimot når $A<0$ så har vi 3 likevektspunkter, $y \in \{ 0, \pm\sqrt{-A}\}$.

Jeg forstår det slik at dette betyr at vi har en bifurkasjon i $A = 0$. Men er dette det eneste kriteriet jeg trenger å se etter når jeg skal se etter bifurkasjoner?

Hei!

Vi klassifiserer bifurkasjoner etter hva slags type endring det er. Det er ikke slik at alle bifurkasjoner medfører en endring i antall fikspunkter. Som et eksempel på en type bifurkasjon der endringen er noe annet kan vi nevne transkritiske bifurkasjoner. Slike bifurkasjoner karakteriseres ved at et fikspunkt som ikke rører på seg når man varierer parameteret kolliderer med et annet fikspunkt som varierer med parameteret slik at de bytter stabilitet når de kolliderer, uten at noen av punktene blir eliminert. Det skjer da ingen endring i antall fikspunkter, men det har likevel skjedd en "drastisk endring".

Eksempelet som du oppgir er for øvrig klassifisert som en pitchfork bifurcation av type subcritical pitchfork bifurcation. Faktisk er det standardeksempelet for en slik bifurkasjon.
Navnet pitchfork bifurcation kommer av den høygaffellignende formen man får når man plotter et bifurkasjonsdiagram.

Jeg har selv bare lært om saddel-node-, pitch fork, transcritical og hopf-bifurkasjoner fra boken "Nonlinear dynamics and chaos" av Strogatz, men det finnes flere varianter. Se https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory