matematikk.net

Jeg merker at sommeren har virkelig tatt inn på...

Kunne noen gi meg et lite dytt i riktig retning i denne oppgaven:




Mitt forsøk...

Starter med å finne et plan gjennom B, C og D.:
[tex]\vec{BC}=\left [ 2-3,-2-4,0-0 \right ]=\left [ -1,-6,0 \right ][/tex]
[tex]\vec{BD}=\left [ 0-3,2-4,4-0 \right ]=\left [ -3,-2,4 \right ][/tex]
[tex]\vec{BC}\times \vec{BD}=\left [ -1,6,0 \right ]\times \left [ -3,-2,4 \right ]=\left [ 24,4,20 \right ]=4*\left [ 6,1,5 \right ][/tex]

Velger et punkt [tex](x_0,y_0,z_0)=(3,4,0)[/tex]
[tex]a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\Leftrightarrow 6(x-3)+1(y-4)+5(z-0)=0\Leftrightarrow 6x-18+y-4+5z=0\Leftrightarrow 6x+y+5z-14=0[/tex]

Normalen som går gjennom punktet A kan beskrives ved følgende parameterframstilling:
[tex]\vec{OP_{ny}}=\vec{OA}+t*\vec{n}=\left [ -2,1,0 \right ]+t\left [ 6,1,5 \right ]\Leftrightarrow \left [ x,y,z \right ]=\left [ -2,1,0 \right ]+t\left [ 6,1,5 \right ]\Leftrightarrow x=-2+6t\,\wedge \,y=1+t\, \wedge \, z=5t[/tex]

Da er [tex]P(2+6t,1+t,5t)[/tex] et vilkårlig punkt. Finner t-verdien:
[tex]6(2+6t)+(1+t)+5(5t)-14=0\Leftrightarrow 12+36t+1+t+25t-14=0\Leftrightarrow 62t=-1\Leftrightarrow t=-\frac{1}{62}[/tex]

Innsatt i parameterframstillingen gir dette:

[tex]x=2+6t=2+6(-\frac{1}{62})=\frac{59}{31}[/tex]
[tex]y=1+t=1+\left ( -\frac{1}{62} \right )=\frac{61}{62}[/tex]
[tex]z=5t=5(-\frac{1}{62})=-\frac{5}{62}[/tex]

--> Punktet [tex]P_{nytt_1}=\left ( \frac{59}{31},\frac{61}{62},-\frac{5}{62} \right )[/tex].

Sitter helt fast... Ser ingen lys i enden av tunnelen. Alt håp er tapt....Hva skal jeg gjøre videre, da dette ikke er svaret?

Har dessuten store problemer å visualisere slike tredimensjonale figurer.... Må svært ofte ty til GeoGebra..

Hei, A og G er symmetrisk om planet BCD.

Det vil si at hvis en drar en normal vektor fra A til planet, så er det like lang avstand fra
A til skjæringspunkt mellom linje og plan, og fra G til skjæringspunkt mellom linje og plan.

I geogebra har du en funksjon kalt "speile om et plan". Du har også, som du vet, en funksjon
som lar deg legge et plan inn i koordinat systemet.

gjennom planet BCD...

planet gjennom BCD...

Normalen som går gjennom punktet A kan beskrives ved følgende parameterframstilling:
[tex]\vec{OP_{ny}}=\vec{OA}+t*\vec{n}=\left [ -2,1,0 \right ]+t\left [ 6,1,5 \right ]\Leftrightarrow \left [ x,y,z \right ]=\left [ -2,1,0 \right ]+t\left [ 6,1,5 \right ]\Leftrightarrow x=-2+6t\,\wedge \,y=1+t\, \wedge \, z=5t[/tex]

Det var jo dette jeg prøvde på?


Sliter fremdeles med lokaliseringen av punktet G. G har, som du sier, like stor avstand til planet som punktet A, gjennom en normal.



Tenker at vi finner normalen:

[tex]\vec{AP_{ny}}=\left [ \frac{59}{31}-(-2),\frac{61}{62}-1,-\frac{5}{62}-0 \right ]=\left [ \frac{121}{31},-\frac{1}{62},-\frac{5}{62} \right ][/tex]

Siden punktene A og G ligger symmetrisk om planet så er [tex]\left | \vec{OP_{ny}} \right |=\left | \vec{AP_{ny}} \right |[/tex]
?

Da kan vi vel uttrykke punktet G med :
[tex]\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{AG}=\vec{OA}+\vec{AP_{ny}}*2=\left [ -2,1,0 \right ]+\left 2*[\frac{121}{31},-\frac{1}{62},-\frac{5}{62} \right ]=\left [ \frac{180}{31},\frac{30}{31},-\frac{5}{31} \right ][/tex]


Noe som ikke stemmer...


EDIT:



La-Tex er noe herk å jobbe med i tillegg til at jeg finner det et langdrygt arbeid.


Hva jeg tenker:

• 1 Finner planlikningen gjennom B, C, og D
  2 Uttrykker en normal gjennom punktet A
  3 Finner skjæringspunktet mellom linja og planet
  4 Finner [tex]\vec{AP}[/tex] hvor [tex]P[/tex] er skjæringspunktet
  5 Prøver å lokalisere punktet [tex]G[/tex] med å utrykke vektorer.

Hvor går det galt?

ved utledning av likning for et plan så har du fått

-18 - 4 til å bli lik 14, mens det skulle ha hvert like -22

ved utledning av likning for et plan så har du fått

-18 - 4 til å bli lik -14, mens det skulle ha hvert like -22

hva er svaret her?

Tror jeg klarte den nå. For de som er interessert, i løsning/har en alternativ og mer effektiv løsning, kan jeg godt legge ut min:

Starter med å finne planlikningen gjennom punktene [tex]B,C,D[/tex]:
[tex]\vec{BC}=\left [ 2-3,-2-4,0-0 \right ]=\left [ -1,-6,0 \right ][/tex]
[tex]\vec{BD}=\left [ 0-3,2-4,4-0 \right ]=\left [ -3,-2,4 \right ][/tex]
[tex]\vec{BC}\times \vec{BD}=\left [ -24,4,-16 \right ]=-4\left [ 6,-1,4 \right ][/tex]

Velger punktet [tex](x_0,y_0,z_0)=B=(3,4,0)[/tex]
[tex]a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0[/tex]
[tex]6(x-3)-1(y-4)+4(z-0)=0\Longleftrightarrow 6x-18-y+4+4z=0 \Longleftrightarrow 6x-y+4z-14=0[/tex]
Ved å la punktene [tex]A[/tex] og [tex]G[/tex] ligge på en normal (A ligger på en normal fra [tex]A[/tex] på planet) blir de symmetriske om planet:

Kaller punktet på normalen for [tex]P_{A}[/tex]. Da får vi at:
[tex]\vec{OP_{A}}=\vec{OA}+t*\vec{r}=\left [ -2,1,0 \right ]+t\left [ 6,-1,4 \right ]\Longleftrightarrow \left [ x,y,z \right ]=\left [ -2+6t,1-t,4t \right ][/tex]

Parameterframstillingen for normalen:
[tex]\ell: x=-2+6t\,\,\wedge\,\,y=1-t\,\,\wedge\,\,z=4t[/tex]

Finner skjæringspunktet mellom planet og linja:
[tex]6(-2+6t)-(1-t)+4(4t)-14=0 \Longleftrightarrow -12+36t-1+t+16t-14=0\Longleftrightarrow 53t=-27\Longleftrightarrow t=-\frac{27}{53}[/tex]
Skjæringspunktet:
[tex]x=-2+6\left (-\frac{27}{53} \right )= -\frac{268}{53}[/tex]
[tex]y=1-\left (-\frac{27}{53} \right )=\frac{80}{53}[/tex]
[tex]z=4t=4\left ( -\frac{27}{53} \right )=-\frac{108}{53}[/tex]

Dvs. [tex]P_A=\left (-\frac{268}{53},\frac{80}{53},-\frac{108}{53} \right )[/tex]

Som gir vektoren: [tex]\vec{AP_A}=\left [ -\frac{268}{53}-(-2),\frac{80}{53}-1,-\frac{108}{53}-0 \right ]=\left [ -\frac{162}{53},\frac{27}{53},-\frac{108}{53} \right ][/tex]

Nå bruker jeg egenskapen at [tex]A[/tex] og [tex]G[/tex] er symmetriske om planet og ligger like langt fra planet.

Lokaliseringen av punktet [tex]G[/tex] :
[tex]\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{AG}=\vec{OA}+\vec{AP_A}+\vec{P_AG}=\vec{OA}+2*\vec{AP_A}=\left [ -2,1,0 \right ]+2\left [ -\frac{162}{53},\frac{27}{53},-\frac{108}{53} \right ]=\left [ -\frac{430}{53},\frac{107}{53},-\frac{216}{53} \right ][/tex]

Blir jammen deprimert nåå.. Svaret skal være. [tex]G\left ( \frac{218}{53},-\frac{1}{53},\frac{216}{53} \right )[/tex]
sikkert noen slurvefeil ettersom z-koordianten stemmer med unntak av fortegnet... F*en....

Det er utrolig hvor mye tid jeg har brukt på denne oppgaven. Jeg har støtt på mye vanskeligere oppgaver, men likevel fant jeg det langdryg å regne på denne oppgaven.

" Et plan har likningen [tex]2x-2y-z=5[/tex] hvor [tex]A=(3,-1,3)[/tex] i planet og [tex]B=(11,-9,-1)[/tex] utenfor planet"
Et punkt C er bestemt ved at B og C er symmetriske om planet. Bestem koordinatene.

Denne er veldig lett hvis man tegner det opp i koordinatsystem fordi da ser man at:
[tex]\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{BA}=\vec{OA}-\vec{AB}=\left [ -5,-7,7 \right ][/tex] ettersom vi speiler punktet B om planet:

Men er det meningen at man ska visualisere dette i hodet, og unngå å skissere det i et koordinatsystem? Står ikke noe om dette er del 1 eller del 2. Jeg kan lett skissere dette i et koordinatsystem manuelt, men er det slik at folk klarer med en gang å se hva man skal gjøre? Eller må dere skissere dette først?