matematikk.net

[tex]vis \,\, at \,\, \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \,\,er \,\, isomorfisk \,\, til \,\, \mathbb{Q}[x]/<x^2-2x+6>[/tex]

er det nok å argumentere med first isomorphism theorem?

Janhaa wrote:[tex]vis \,\, at \,\, \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \,\,er \,\, isomorfisk \,\, til \,\, \mathbb{Q}[x]/<x^2-2x+6>[/tex]

er det nok å argumentere med first isomorphism theorem?

La $\alpha=1+i\sqrt{5}$. Det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$ er dermed $x^2-2x+6$. Dermed er $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2x+6)=\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$.

plutarco wrote: La $\alpha=1+i\sqrt{5}$. Det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$ er dermed $x^2-2x+6$. Dermed er $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2x+6)=\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$.

(Lar vi $\phi_{\alpha}$ være evalueringshomomorfien fra $ \mathbb{Q}[x]$ inn i $\cancel{\mathbb{Q}}$ (edit: $\mathbb{C}$) er $ker(\phi)=(x^2-2x+6)$ og $im(\phi)=\mathbb{Q}(\alpha)$, så den første likheten kommer av første isomorfiteorem. Den andre likheten er opplagt.)

plutarco wrote:

plutarco wrote:

Janhaa wrote:[tex]vis \,\, at \,\, \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \,\,er \,\, isomorfisk \,\, til \,\, \mathbb{Q}[x]/<x^2-2x+6>[/tex]
er det nok å argumentere med first isomorphism theorem?

La $\alpha=1+i\sqrt{5}$. Det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$ er dermed $x^2-2x+6$. Dermed er $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2x+6)=\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$.

(Lar vi $\phi_{\alpha}$ være evalueringshomomorfien fra $\mathbb{Q}[x]$ inn i $\mathbb{Q}$ er $ker(\phi)=(x^2-2x+6)$ og $im(\phi)=\mathbb{Q}(\alpha)$, så den første likheten kommer av første isomorfiteorem. Den andre likheten er opplagt.)

takk-mener du:


$\phi_{\alpha}$ være evalueringshomomorfien fra $\mathbb{Q}[x]$ inn i $\mathbb{C}$ er $\ker(\phi)=(x^2-2x+6)$ og $im(\phi)=\mathbb{Q}(\alpha)$, så den første likheten kommer av første isomorfiteorem. Den andre likheten er opplagt
?

Tror "inn i [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{-5})[/tex]". Rasjonale tall + roten av -5 element.

Alt for lett å slurve på matematikk forum...

Janhaa wrote: takk-mener du:
$\phi_{\alpha}$ være evalueringshomomorfien fra $\mathbb{Q}[x]$ inn i $\mathbb{C}$ er $\ker(\phi)=(x^2-2x+6)$ og $im(\phi)=\mathbb{Q}(\alpha)$, så den første likheten kommer av første isomorfiteorem. Den andre likheten er opplagt
?

Ja, riktig. Beklager feilen. (Evt. kunne vi jo valgt, som pit sier, $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ som kodomene, slik at $\phi$ da vil bli surjektiv.)