matematikk.net

Hei!

Jeg gjør en oppgave innenfor R2 integrering her, og da har vi først en A oppgave som lyder slik:

Deriver uttrykket:

[tex]ln(x^{2}+1)[/tex]

Da får jeg [tex]\frac{1}{x^{2}+1}*{(x^{2}+1)}'=\frac{2x}{x^{2}+1}[/tex]

Videre har vi en B oppgave: Finn det ubestemte integralet:

[tex]\int \frac{2x}{x^{2}+1}[/tex]

Her er jo svaret lik det i oppgave A: [tex]ln(x^{2}+1)[/tex]

Vi har ikke gått igjennom slike oppgaver ennå, og alle skriver svaret fra oppgave A og går videre. Men med min nysgjerrighet så kan jeg ikke stoppe der.

Jeg har sett på flere muligheter, deriblant f. eks delbrøkoppspalting - men jeg får ikke faktorisert nevneren her.

Hadde det stått 2 i teller, og ikke 2x - kunne jeg brukt denne formelen. Stemmer det her at man skal dele på den deriverte av kjernen?

[tex]\int \frac{2}{u} = 2*\frac{ln\left | u \right |}{{u}'}[/tex]

Men, hovedspørsmålet her er; hvordan går man frem med antideriveringen?

[tex]\int\frac{2x}{x^2+1}\mathrm{d}x[/tex]

[tex]u = x^2+1 \ \Rightarrow \ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x \ \Rightarrow \ \frac{\mathrm{d}u}{2x} = \mathrm{d}x[/tex]

[tex]\int\frac{2x\mathrm{d}x}{u} = \int\frac{\cancel{2x}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\cancel{2x}}}{u} = \int\frac{\mathrm{d}u}{u} = \ln{\left|u\right|} + C = \ln{\left|x^2+1\right|}+C[/tex]