matematikk.net

Jeg har en oppgave som jeg ikke skjønner i det hele tatt. Vi skal skrive opp en overgangsmatrise M som består av 3 deler A, B og C. Innholdet i A avtar med 20%, B øker med 20% og C er uforandret. Så vidt jeg har forstått kan jeg skrive det som

[-20 0 0 ]
[0 20 0 ]
[0 0 0 ]

Men så kommer problemet, og vi skal finne egenverdiene og tilhørende egenvektorer. Det er blitt gått igjennom så mye på så kort tid og på så rotete måte at jeg ikke aner hva jeg skal gjøre videre. Jeg har prøvd å finne den karakteristiske likningen (-lambdas^3 + 400lambdas), men jeg tviler på at dette er riktig. Determinanten er så vidt jeg skjønner 0?
Jeg aner virkelig ikke hva jeg skal gjøre videre, kunne noen forklare?

Riktig matrise blir nok:
[tex]\begin{bmatrix} 0.8 & 0 & 0 \\ 0 & 1.2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]

Når noe minker med 20 prosent så er det 80% av tidligere verdi (0.8). Når noe øker med 20 prosent så er det 120% av tidligere verdi (1.2), og når noe er uforandret så er det 100% av tidligere verdi (1).

Oi, oops...
Men da fikk jeg et nytt problem, for hvordan går jeg videre med å regne ut egenverdier nå? Jeg prøvde å ta (0.8 - lambda)*((1,2-lambda)(1-lambda)) for å finne den karakteristiske likningen (jeg mente ihvertfall det var neste skritt?), men da får jeg en tredjegradslikning uten noen felles faktor...

Om noen bare kunne skrive opp en sjekkliste med hvilke steg jeg må gjøre i hvilken rekkefølge, hadde det vært hjelpsomt..

Gjest wrote:Oi, oops...
Men da fikk jeg et nytt problem, for hvordan går jeg videre med å regne ut egenverdier nå? Jeg prøvde å ta (0.8 - lambda)*((1,2-lambda)(1-lambda)) for å finne den karakteristiske likningen (jeg mente ihvertfall det var neste skritt?), men da får jeg en tredjegradslikning uten noen felles faktor...

Om noen bare kunne skrive opp en sjekkliste med hvilke steg jeg må gjøre i hvilken rekkefølge, hadde det vært hjelpsomt..

Kan jo legge til at likningen jeg fikk er (kaller bare lambdas for L):

-L^3 + 3L^2 - 0,56L + 0.96

Idéen bak den karakteristiske ligningen er som følger.

Vi skal finne egenverdiene [tex]\lambda[/tex] i følgende ligning: [tex]Ax = \lambda x[/tex], der [tex]A[/tex] er matrisen din.

Dette kan omskrives slik: [tex](A-\lambda I)x = 0[/tex]

Vi vet da at [tex]A - \lambda I[/tex] er en singulær matrise, altså at determinanten er 0.

Vi setter da opp ligningen [tex]Det(A - \lambda I) = 0[/tex]

Vi finner da et uttrykk for determinanten til [tex]\begin{bmatrix} 0.8 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1.2 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \lambda \end{bmatrix}[/tex], og setter det lik 0, for deretter å løse for [tex]\lambda[/tex].

Den karakteristiske ligningen du fant er riktig. Det blir: [tex](0.8 - \lambda)(1.2 - \lambda)(1 - \lambda) = 0[/tex]

Ser du at du allerede har et faktorisert polynom, og at du dermed har løsningen direkte?

Så jeg hadde det foran meg hele tiden... Takk!