matematikk.net

Heisann, har et spørsmål angående denne oppgaven:

La $P:V\to V$ være en lineær avbildning, hvor $V$ er et vektorrom. Anta at $P\circ P=P$. Vis at $V=\ker P \oplus \rm{im} \mathop P$.

Én måte å gjøre det på er jo å se at $P(v-P(v))=P(v)-P(P(v))=0\implies v-P(v)\in \ker P$ for hver $v\in V$; men går det an å vise det samme ved hjelp av dimensjoner? Man kan sjekke at $\rm{im}\mathop P\cap \ker P=0$. Holder det da å vise at
\[\dim V=\dim(\ker P\oplus \rm{im}\mathop P)=\dim(\rm{im}\mathop P)+\dim(\ker P)?\]
Dimensjonsteoremet gir oss den siste likheten, men jeg lurer på om det holder som bevis, spesielt i de tilfellene hvor $V$ ikke er endeligdimensjonalt.

stensrud wrote:Heisann, har et spørsmål angående denne oppgaven:

La $P:V\to V$ være en lineær avbildning, hvor $V$ er et vektorrom. Anta at $P\circ P=P$. Vis at $V=\ker P \oplus \rm{im} \mathop P$.

Én måte å gjøre det på er jo å se at $P(v-P(v))=P(v)-P(P(v))=0\implies v-P(v)\in \ker P$ for hver $v\in V$; men går det an å vise det samme ved hjelp av dimensjoner? Man kan sjekke at $\rm{im}\mathop P\cap \ker P=0$. Holder det da å vise at
\[\dim V=\dim(\ker P\oplus \rm{im}\mathop P)=\dim(\rm{im}\mathop P)+\dim(\ker P)?\]
Dimensjonsteoremet gir oss den siste likheten, men jeg lurer på om det holder som bevis, spesielt i de tilfellene hvor $V$ ikke er endeligdimensjonalt.

Har ikke tid til noe skikkelig svar nå , men man må jo vise at dimensjonen til direktesummen er lik summen av dimensjonene, noe som ikke er opplagt og heller ikke endel av rank-nullity teoremet. Ellers ser det jo riktig ut. I et uendeligdimensjonalt vektorrom vil det jo ikke være riktig, siden det fins uendeligdimensjonale underrom av slike.

Rakk omsider å se mer nøye på spørsmålet ditt. Mitt første svar var nok noe uklart, og tatt på sparket. Her er måten man kan gjøre det alternativt på:

Rank-nullity teoremet gir at $dim(im(P))+dim(ker(P))=dim(V)$.

Dimensjonsteoremet (for sum av vektorrom) gir at $dim(im(P)+ker(P))=dim(im(P))+dim(ker(P))-dim(im(P)\cap ker(P))$.

$im(P)\cap ker(P)=0$. (Bevis: La $v\in ker (P)\cap im(P)$. Da er $P(v)=0$, og det fins en $w$ slik at $P(w)=v$, men da er $0=P(0)=P(P(w)-v)=P(w)=v$.)

Så $dim(im(P)\cap ker(P))=0$ og $im(P)+ker(P)=im(P)\oplus ker(P)$, og det følger at

$dim(V)=dim(im(P)\oplus ker(P))$. Gitt at $dim(V)<\infty$, så må $V=im(P)\oplus ker(P)$.

For min del virker det som det ikke holder som bevis uten videre i tilfellet $dim(V)=\infty$, siden beviset hviler på den siste overgangen. Generelt vil jo uendeligdimensjonale vektorrom kunne ha uendeligdimensjonale underrom som ikke er lik seg selv.

Takk skal du ha, Plutarco. Blir fort litt kåbbåi-matematikk når jeg holder på selv her