matematikk.net

hei! jeg sliter sinnsykt med dette opppgåven her:

Vi ser for oss ei celle som er rund som ei kule. La r, S og V vere høvesvis radien, overflatearealet og volumet.
a) Vis at S er proporsjonal med V^2/3 . Dvs. vis at der er eit tal c slik at vi kan skrive S = cV^2/3 .

JEG TENKTE SLIK:

deler volumet på overflateareal og finner forholdet mellom dem
= ((4*pi*r^3)/3) / (4*pi*r^2) = (4*pi*r^3) / (3*4*pi*r^2)

Vi forkorter faktorene 4, pi og r^2 og sitter igjen med r/3

S*(r/3) = V

S = V / (r/3)

S = (3*V) / r


VEIT IKKE HVA JEG SKAL GJØRE VIDERE, OG OM DETTE ER RETT


b) Cella deler seg i to. Volumet til kvar av dei to delane er da 1/2 V . Kva vert radien til desse to nye cellene? Kva vert arealet til kvar av dei? Kva vert no forholdet mellom samla areal og samla volum til dei to cellene? Vis at overflata sitt samla areal har auka med 26%.

SKJØNNER IKKE DETTE

c) Gå ut i fra at cella deler seg i tre. Kor mange prosent vil da det totale arealet av overflata ha auka? OG VET IKKE HVORDAN JEG SKAL GJØRE

Ok, her er litt hjelp for å komme i gang.

(a)
Du har tenkt riktig i det første svaret, men du viser forholdet mellom V og S som ikke er det oppgaven ber om. Du skal vise forholdet mellom S og V^2/3.

Jeg er forresten litt usikker på hva V^2/3 er. Mener du [tex]V^{\frac{2}{3}}[/tex] eller [tex]\frac{V^2}{3}[/tex]?


(b)
Vi vet hva volumet til den opprinnelige cellen er:
[tex]V = \frac{4}{3}\pi r^3[/tex]

I den nye, halve cellen, har vi en ny radius [tex]p[/tex] som gir oss det halve volumet.
[tex]\frac{1}{2}V = \frac{4}{3}\pi p^3[/tex]

Vi kan sette inn uttrykket vi har for [tex]V[/tex] og får en likning vi kan løse for [tex]p[/tex].
[tex]\frac{1}{2}\left( \frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{4}{3}\pi p^3[/tex]

Løser du denne, så finner du at [tex]p = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}r[/tex]

Du bruker den nye radien til å regne ut overflateareal osv. så finner du forholdene til den opprinnelige cellen.


(c)
Samme fremgangsmåte som i (b), bare at du nå begynner med [tex]\frac{1}{3}V[/tex] og finner en tredje radius [tex]q[/tex] f.eks.

HÅPER TING BLE LITT KLARERE NÅ!

Markonan wrote:Ok, her er litt hjelp for å komme i gang.

(a)
Du har tenkt riktig i det første svaret, men du viser forholdet mellom V og S som ikke er det oppgaven ber om. Du skal vise forholdet mellom S og V^2/3.

Jeg er forresten litt usikker på hva V^2/3 er. Mener du [tex]V^{\frac{2}{3}}[/tex] eller [tex]\frac{V^2}{3}[/tex]?


(b)
Vi vet hva volumet til den opprinnelige cellen er:
[tex]V = \frac{4}{3}\pi r^3[/tex]

I den nye, halve cellen, har vi en ny radius [tex]p[/tex] som gir oss det halve volumet.
[tex]\frac{1}{2}V = \frac{4}{3}\pi p^3[/tex]

Vi kan sette inn uttrykket vi har for [tex]V[/tex] og får en likning vi kan løse for [tex]p[/tex].
[tex]\frac{1}{2}\left( \frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{4}{3}\pi p^3[/tex]

Løser du denne, så finner du at [tex]p = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}r[/tex]

Du bruker den nye radien til å regne ut overflateareal osv. så finner du forholdene til den opprinnelige cellen.


(c)
Samme fremgangsmåte som i (b), bare at du nå begynner med [tex]\frac{1}{3}V[/tex] og finner en tredje radius [tex]q[/tex] f.eks.

HÅPER TING BLE LITT KLARERE NÅ!

jeg mener A) V2/3

Ok.

(a)
Som gitt i oppgaveteksten, skal du da finne [tex]c[/tex] slik at:
[tex]S = c\cdot\frac{2}{3}V[/tex]

Deler du begge sider med [tex]\frac{2}{3}V[/tex], får du:
[tex]c = \frac{S}{\frac{2}{3}V}[/tex]

Herfra setter man bare inn uttrykkene for V og S og forkorter så langt man kommer. Jeg fant at [tex]c = \frac{9}{2r} = \frac{4.5}{r}[/tex].

Dette er annerledes enn du gjorde, men du var i ferd med å finne [tex]\frac{1}{c}[/tex] siden du snudde divisjonen på hodet, også glemte du faktoren [tex]\frac{2}{3}[/tex] foran V.

Kan du vise oppgaven trinn for trinn?
Vi ser for oss en celle som er rund som en kule. La r, S og V være hendholdsvis radisen, overflatearealet og volumet til cellen.
a) Vis at S er proporsjonal med V^((2)/(3)). Dvs at det finne et tall c slik at vi kan skrive S = cV^((2)/(3))

[tex]S = 4\pi r^2[/tex]

[tex]V = \frac{4}{3}\pi r^3[/tex]

Du skal vise at [tex]S = cV^{2/3}[/tex]

[tex]V^{2/3} = \sqrt[3]{\frac{4}{3}\pi}\left(r^{3}\right)^{2/3} = c\cdot S[/tex]

Man skal bare bruke litt algebra for å forenkle stykket.
[tex]c = \frac{S}{\frac{2}{3}V}[/tex]

Setter inn uttrykkene for S og V som er formlene for overflateareal og volum.
[tex]c = \frac{4\pi r^2}{\frac{2}{3}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)}[/tex]

Faktoriserer ut 1/3 fra nevneren.
[tex]c = \frac{4\pi r^2}{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot4\pi r^3}[/tex]

Ganger sammen (2/3) og (1/3) i nevneren.
[tex]c = \frac{4\pi r^2}{\frac{2}{9}\cdot4\pi r^3}[/tex]

Nå kan man forkorte litt mer og fikse den brudne brøken. Fikser du det selv?
Du får ikke hjelp om jeg skriver ut hele oppgaven for deg. Prøv og gjør det siste selv!

For at noe skal være proposjonalt, så må det finnes en proposjonalitetskonstant. Da kan ikke konstanten variere med r.

Det er nok riktig at at [tex]S[/tex] er proposjonal med [tex]V^{\frac{2}{3}}[/tex].

Vi har da:
[tex]V = \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow V^{\frac{2}{3}} = (\frac{4}{3}\pi)^{\frac{2}{3}} r^2[/tex]

For at S skal være proposjonal med [tex]V^{\frac{2}{3}}[/tex] så må det finnes en proposjonalitetskonstant c slik at [tex]S = cV^{\frac{2}{3}} = c(\frac{4}{3} \pi)^{\frac{2}{3}}r^2 = 4\pi r^2[/tex]

Vi får da [tex]c = \frac{4\pi}{(\frac{4}{3}\pi)^{\frac{2}{3}}} = \frac{4\pi}{(4\pi)^{\frac{2}{3}}}\cdot 3^{\frac{2}{3}} = (4\pi)^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}} = (36\pi)^{\frac{1}{3}}[/tex]

Ja, det virker mye mer logisk. Synes det var en veldig rar oppgave.

Noen som har fått til b og c ?

b)
Gitt at [tex]V = \frac{4}{3}\pi r^3[/tex].

Da er [tex]V_{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{1}{2}r^3 = \frac{4}{3}\pi(\frac{r}{2^{\frac{1}{3}}})^3[/tex]

Radiusen til kulene med halvt volum er da [tex]r_{\frac{1}{2}} = \frac{r}{2^{\frac{1}{3}}}[/tex]

Setter denne radiusen inn i formelen for overflate: [tex]S_{\frac{1}{2}} = 4\pi r_{\frac{1}{2}}^2 = 4\pi (\frac{r}{2^{\frac{1}{3}}})^2 = \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} \cdot 4\pi r^2[/tex]

Vekstfaktoren blir: [tex]\frac{2S_{\frac{1}{2}}}{S} = \frac{2\cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}\cdot 4\pi r^2}{4\pi r^2} = \frac{2}{2^{\frac{2}{3}}} = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1.26[/tex]

Økningen er altså på 26%.

Forholdet mellom samla overflate og samla volum blir: [tex]\frac{2S_{\frac{1}{2}}}{V} = \frac{2\cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}4\pi r^2}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{2\cdot 3}{2^{\frac{2}{3}}}\cdot \frac{1}{r} = 3\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{r}[/tex]

c)

[tex]V_{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{r}{3^{\frac{1}{3}}})^3[/tex]

[tex]S_{\frac{1}{3}} = 4\pi r^2\cdot \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}[/tex]

Veksten blir da: [tex]\frac{3S_{\frac{1}{3}}}{S} = \frac{3\cdot \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 4\pi r^2}{4\pi r^2} = 3^{\frac{1}{3}} \approx 1.44[/tex]

Altså ca. 44% vekst.