matematikk.net

Driver og jobber med en innleveringsoppgave i økonomi av alle ting, og har kommet over følgende problem

Betrakt de to likningene.

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
xu + uv - yx + y & = 0 \\
u^2 - x^2 + v & = 3
\end{align*}
$

Ta det totale differensial, og finn så hvordan de endogene variablene $x$ og $y$ påvirkes av endringer i de eksogene variable $u$ og $v$ .

Som sagt er dette en innleveringsoppgave og ønsker derfor ikke et komplett løsningsforslag, men hadde vært fint med noen pekepinner.

Ved å ta det totale differensialet fås

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
u \mathrm{d}x + x \mathrm{d}u + u \mathrm{d} v + v \mathrm{d} u - y \mathrm{d} x - x \mathrm{d}y + \mathrm{d} y & = 0 \\
2 u \mathrm{d} u - 2x \mathrm{d} x + \mathrm{d} v & = 0
\end{align*}
$

Litt usikker på hva jeg skal gjøre videre. Er det slik å fortså at vi har $x(u,v)$, $x(u,v)$ og ønsker å se hvordan en endring i $u$ og $v$ påvirker $x$ og $y$?

I såfall kan den nederste likningen skrives som

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\mathrm{d} x & = \frac{u}{x} \mathrm{d}u + \frac{1}{2x} \mathrm{d}v \\
\mathrm{d} y & = \frac{u \mathrm{d}x + x \mathrm{d}u + u \mathrm{d} v + v \mathrm{d} u - y \mathrm{d} x}{1 - x}
\end{align*}
$

Er tanken nå at en kan dele på differensialet $\mathrm{d}u$ i øverste likning slik en får

$ \hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} = \frac{u}{x}
$

siden $\mathrm{d}v / \mathrm{d}u = 0$, siden $u$ og $v$ er uavhengige/frie variabler? Tenker videre å gjøre det samme i neste likning, men å bruke uttrykket jeg har for $\mathrm{d}x$. Virker dette fornuftig?

Nebuchadnezzar wrote: Ved å ta det totale differensialet fås

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
u \mathrm{d}x + x \mathrm{d}u + u \mathrm{d} v + v \mathrm{d} u - y \mathrm{d} x - x \mathrm{d}y + \mathrm{d} y & = 0 \\
2 u \mathrm{d} u - 2x \mathrm{d} x + \mathrm{d} v & = 0
\end{align*}
$

Litt usikker på hva jeg skal gjøre videre. Er det slik å fortså at vi har $x(u,v)$, $x(u,v)$ og ønsker å se hvordan en endring i $u$ og $v$ påvirker $x$ og $y$?

I såfall kan den nederste likningen skrives som

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\mathrm{d} x & = \frac{u}{x} \mathrm{d}u + \frac{1}{2x} \mathrm{d}v \\
\mathrm{d} y & = \frac{u \mathrm{d}x + x \mathrm{d}u + u \mathrm{d} v + v \mathrm{d} u - y \mathrm{d} x}{1 - x}
\end{align*}
$

Er tanken nå at en kan dele på differensialet $\mathrm{d}u$ i øverste likning slik en får

$ \hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} = \frac{u}{x}
$

siden $\mathrm{d}v / \mathrm{d}u = 0$, siden $u$ og $v$ er uavhengige/frie variabler? Tenker videre å gjøre det samme i neste likning, men å bruke uttrykket jeg har for $\mathrm{d}x$. Virker dette fornuftig?

Uten at jeg har så voldsomt mye peiling på økonomi, så ville jeg gått frem slik: Hold først v konstant, så $dv=0$, og del begge likningene med $du$:

$\frac{dx}{du}=\frac{u}{x}$
$\frac{dy}{du}=\frac{(u-y)\frac{dx}{du}+x+v}{1-x}=\frac{(u-y)\frac{u}{x}+x+v}{1-x}$.

Hold så u konstant...

Yes, da ser det ut som jeg har tenkt rett. Takker =)

Er det første gang du spør om hjelp her inne, Nebu? Var uvant å se.

Nysgjerrig som jeg er - har du begynt på nye studier? Mener å huske at du var ferdig med eller nesten ferdig med lektorutdanning?