matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven please.
I denne oppgaven er X en ikke-tom mengde. En familie I av delmengder av X kalles et ideal dersom
(i) ∅ ∈ I
(ii) Hvis I,J∈I, så er I∪J∈I
(iii) Hvis I∈I og J⊆I,så erJ∈I
a) Anta x∈X.
Vis at
I x = { A ⊆ X | x ∈/ A } er et ideal.
b) Vis at
E = {A ⊆ X | A har endelig mange elementer}
er et ideal.

Notasjonen din er vanskelig å lese, så jeg tillater meg å gjøre noen endringer. (si fra hvis jeg har mistolket noe)

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven please.
I denne oppgaven er $X$ en ikke-tom mengde. En familie $\mathcal{I}$ av delmengder av $X$ kalles et ideal dersom

(i) $\emptyset \in \mathcal{I}$
(ii) Hvis $I,J\in \mathcal{I}$, så er $I\cup J\in\mathcal{I}$
(iii) Hvis $I\in\mathcal{I}$ og $J\subseteq I$, så er $J\in \mathcal{I}$

a) Anta $x\in X$. Vis at $\mathcal{I}_x = \{ A \subseteq X | x \not\in A \}$ er et ideal.

b) Vis at E = {A ⊆ X | A har endelig mange elementer} er et ideal.

Satser på at noen andre har tid til å besvare spørsmålet..

Tusen takk.

plutarco wrote:

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven please.
I denne oppgaven er $X$ en ikke-tom mengde. En familie $\mathcal{I}$ av delmengder av $X$ kalles et ideal dersom

(i) $\emptyset \in \mathcal{I}$
(ii) Hvis $I,J\in \mathcal{I}$, så er $I\cup J\in\mathcal{I}$
(iii) Hvis $I\in\mathcal{I}$ og $J\subseteq I$, så er $J\in \mathcal{I}$

a) Anta $x\in X$. Vis at $\mathcal{I}_x = \{ A \subseteq X | x \not\in A \}$ er et ideal.

b) Vis at E = {A ⊆ X | A har endelig mange elementer} er et ideal.

a)

i) Det er klart at $\emptyset \in \mathcal{I}_x$ siden $x\not\in \emptyset$.
ii) La $I,J\in \mathcal{I}_x$. Siden $x\not\in I$ og $x\not\in J$, så vil $x\not\in I\cup J$, så $I\cup J\in \mathcal{I}_x$.
iii) La $I\in \mathcal{I}_x$, og $J\subseteq I$. Siden $x\not\in I$, så må $x\not\in J$, og dermed er $J\in\mathcal{I}_x$.

b) (La $|U|$ betegne kardinaliteten til mengden $U$)

i) Siden $|\emptyset|=0<\infty$ er $\emptyset\in E$.
ii) La $I,J\in E$. Siden $|I|,|J|<\infty$ må $|I\cup J|=|I|+|J|-|I\cap J|\leq |I|+|J|<\infty$, så $I\cup J\in E$.
iii) La $I\in E$ og $J\subseteq I$. Siden $|J|\leq |I|<\infty$, vil $J\in E$.

Tusen takk for hjelpen.