matematikk.net

Oppgave 1.117

a)

Figuren til venstre viser en sirkel med fire deler (tre ringer og en sirkelflate med samme sentrum). Hver ring har bredden 1. Finn arealet av hver av ringene og bruk det til å vise at

1 + 3 + 5 + 7 = [tex]4^{2}[/tex]

Areal for sirkel = 3.14*r*r

Da må

A(1) = [tex]1^{2}[/tex] * 3.14 = 3.14

A(2) = [tex]2^{2}[/tex] * 3.14 - 3.14 = 3*3.14

Slik fortsatte jeg for A(3) og A(4).

Arealet for hele = [tex]4^{2}[/tex] * 3.14 = 16*3.14

Setter opp en likning og får

3.14(1+3+5+7) = 3.14([tex]4^{2}[/tex])

Da står man igjen med

1 + 3 + 5 + 7 = [tex]4^{2}[/tex]

Er dette riktig måte å tenke på?

b)

Figuren til høyre viser en sirkel med radius n. Inne i sirkelen er det tegnet en ring med bredde 1. Finn et uttrykk for arealet av ringen.

Fant da at arealet blir

3.14(2n-1)

c)

Forklar hvordan du kan bruke sirkelen til høyre til å vise at summen av de n første oddetallene er lik [tex]n^{2}[/tex].

Her tror jeg det er slik at man skal bruke formelen i oppgave b). Men jeg er usikker på hvordan man skal gjøre dette.

d)

Vis ved regning at summen av de n første oddetallene er lik [tex]n^{2}[/tex].

Blir det her slik at man bruker 1 + 3 + 5 +7 og regner summen slik?

Sum(1) = 1 = [tex]1^{2}[/tex]

Sum(2) = 1 + 3 = 4 = [tex]2^{2}[/tex]

Og så videre ...

Det ble en litt lang oppgave, men jeg vil veldig gjerne løse den

Anonym trenger hjelp wrote:Oppgave 1.117

a)

Figuren til venstre viser en sirkel med fire deler (tre ringer og en sirkelflate med samme sentrum). Hver ring har bredden 1. Finn arealet av hver av ringene og bruk det til å vise at

1 + 3 + 5 + 7 = [tex]4^{2}[/tex]

Areal for sirkel = 3.14*r*r

Da må

A(1) = [tex]1^{2}[/tex] * 3.14 = 3.14

A(2) = [tex]2^{2}[/tex] * 3.14 - 3.14 = 3*3.14

Slik fortsatte jeg for A(3) og A(4).

Arealet for hele = [tex]4^{2}[/tex] * 3.14 = 16*3.14

Setter opp en likning og får

3.14(1+3+5+7) = 3.14([tex]4^{2}[/tex])

Da står man igjen med

1 + 3 + 5 + 7 = [tex]4^{2}[/tex]

Er dette riktig måte å tenke på?

b)

Figuren til høyre viser en sirkel med radius n. Inne i sirkelen er det tegnet en ring med bredde 1. Finn et uttrykk for arealet av ringen.

Fant da at arealet blir

3.14(2n-1)

c)

Forklar hvordan du kan bruke sirkelen til høyre til å vise at summen av de n første oddetallene er lik [tex]n^{2}[/tex].

Her tror jeg det er slik at man skal bruke formelen i oppgave b). Men jeg er usikker på hvordan man skal gjøre dette.

d)

Vis ved regning at summen av de n første oddetallene er lik [tex]n^{2}[/tex].

Blir det her slik at man bruker 1 + 3 + 5 +7 og regner summen slik?

Sum(1) = 1 = [tex]1^{2}[/tex]

Sum(2) = 1 + 3 = 4 = [tex]2^{2}[/tex]

Og så videre ...

Det ble en litt lang oppgave, men jeg vil veldig gjerne løse den

(a) Vi regner ut arealet av hele sirkelen på to måter:

Den første måten er å bruke formel for areal av hel sirkel: $A = \pi \cdot 4^2$.
Deretter legger vi sammen arealet av den innerste sirkelen og de tre ringene: $A = \pi\cdot 1^2 + \pi(2^2 - 1^2) + \pi(3^2 - 2^2) + \pi(4^2 - 3^2) = \pi(1 + 3 + 5 + 7)$.
Dermed får vi at $4^2 = 1 + 3 + 5+ 7$.

(b) Dette er helt riktig. $A = \pi(n^2 - (n-1)^2) = \pi(2n - 1)$.

(c) Tenk deg en sirkel med radius $n$ fordelt i "ringer" med bredde $1$ slik som i oppgave (a). Vi regner ut arealet til sirkelen på to forskjellige måter.
Formelen for areal av sirkel gir $A(n) = \pi\cdot n^2$.
Ved å heller legge sammen arealet av ringene får vi fra (b) at
$A(n) = \pi(2\cdot 1 - 1) + \pi(2\cdot 2 - 1) + ... + \pi(2n - 1)$.
Dermed ser vi at $1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2$.

(d) Oddetallene er en aritmetisk følge med differanse $2$. Formelen for ledd $n$ av aritmetisk rekke gir Sum$(n) = \frac{n(1 + (2n-1))}{2} = \frac{2n^2}{2} = n^2$.

Tusen takk, det hjalp masse!