matematikk.net

Hei!

Kan noen hjelpe meg med implisitt derivasjon?

Oppgaven er som følgende:

Ligningen x^(1/2)*y^(1/3)=6 definerer en kurve i planet.

(a) Bruk implisitt derivasjon og finn et uttrykk for dy/dx i et punkt (x,y) på kurven.

Har kommet et stykke på vei og har fått:

(dy/dx)*1/3y^(-2/3)* = -1/2^(-1/2)

Er dette riktig? hvordan kommer jeg meg videre?

Det ser ikke rett ut.

$(x^{1/2}*y^{1/3})' = (6)' \\
\frac 12x^{-1/2}y^{1/3} + \frac 13y^{-2/3} \frac{dy}{dx} *x^{1/2} = 0$

For å få dy/dx alene må du flytte over leddet som ikke har dy/dx i seg.

Takk for svar!
Såg nå at jeg hadde skrevet + mellom leddene og ikke gange... da ble det rett!


Etter å ha flyttet over leddet uten dy/dx har jeg:

(1/3y)^(-2/3) *(dy/dx) * (x)^(1/2) = -(1/2x)^(-1/2) * y^(1/3)


Hvordan kommer jeg meg videre?

Du er nesten i mål!

Husk at du kan behandle $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ som en hvilken som helst variabel, og alt du behøver å gjøre nå er å gange med den omvendte brøken av det som står foran denne for å isolere variabelen:

[tex]\begin{align*} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3y^{\frac{2}{3}}} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&= - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{2x^\frac{1}{2}} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{2x^\frac{1}{2}} \cdot \frac{3y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= - \frac{3y}{2x} \end{align*}[/tex]

Hei!
Takk for svar, men jeg henger ikke helt med...
hvordan kom du fra:

1/3y^(-2/3)*(dy/dx)*x^(1/2)=-(1/2x^(-1/2)*y^(1/3))

til:

(x^1/2)/(3y^2/3)*(dy/dx)= -(y^1/3)/(2x^1/2)

eneste måten jeg ser at du kunne fått 1/3y^(-2/3) til å bli 3y(2/3) er å gange med 9 og skifte fortegn på det som er opphøyd slik at du får det under brdøkstreken? men da må man vell gjøre det samme på andre siden av likhetstegnet?

og hva har du gjort for at -(1/2x)^-(1/2) skal bli 2x^(1/2) under brødkstreken? Har du da genget med 4 for å få 2, og så byttet fra minus til pluss i den ophøyde for å då den under brøkstreken?


Er nok bare jeg som ikke ser det....

Det er mulig det gikk litt fort, det er egentlig bare potensreglene i praksis det her.

Husk først at vi kan si følgende:

[tex]a^{-m} = \frac{1}{a^m}[/tex]

Videre så vet vi at når det står $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$, så står det egentlig et gangetegn mellom $\frac{1}{2}$ og $x^{-\frac{1}{2}}$:

[tex]\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}[/tex]

Så ved å bruke potensregelen om at x kan flyttes under brøkstreken om jeg bytter fortegn, får jeg nå to brøker som jeg kan gange sammen (teller med teller og nevner med nevner). Det gir:

[tex]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}[/tex]

Så når Fysikkmann97 har vist at den deriverte kan skrives på formen $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\cdot x^{\frac{1}{2}}=0$, så bruker jeg egentlig bare denne fremgangsmåten til å skrive det på følgende måte:

[tex]\frac{y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3y^{\frac{2}{3}}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0[/tex]

Deretter tar jeg bare og trekker fra det første leddet på hver side, for å isolere leddet med $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ på venstresiden:

[tex]\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3y^{\frac{2}{3}}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{2}}}[/tex]

Det jeg har lyst til nå, er å få $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ for seg selv. For å oppnå dette ganger jeg med den omvendte brøken av den som står foran $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ på begge sider av ligningen:


[tex]\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3y^{\frac{2}{3}}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cdot \frac{3y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}= -\frac{y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}[/tex]

Nå kan jeg stryke brøkene på venstreside opp mot hverandre (produktet blir en), og gange sammen det jeg står igjen med på høyresiden:

[tex]\frac{\cancel{x^{\frac{1}{2}}}}{\cancel{3y^{\frac{2}{3}}}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cdot \frac{\cancel{3y^{\frac{2}{3}}}}{\cancel{x^{\frac{1}{2}}}}= -\frac{y^{\frac{1}{3}} \cdot 3y^{\frac{2}{3}}}{2x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}[/tex]

Nå får vi bruk for enda en potensregel:

[tex]a^m \cdot a^n = a^{m+n}[/tex]

Og, siden det står et gangetegn mellom tallene og variablene x og y, ender vi opp med:

[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{3y^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}}{2x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \frac{3y}{2x}[/tex]

Håper dette gjorde ting litt klarere, og bare spør om det skulle være noe mer!

Tusen hjertelig takk! Det var veldig til hjelp