matematikk.net

Find the Möbius transformation $g$ with the property $g(-i)=-i,$ $g(i)=i$ and $g(1)=\infty$



Ett dytt å få her?

Takk =)

Kjemikern wrote:Find the Möbius transformation $g$ with the property $g(-i)=-i,$ $g(i)=i$ and $g(1)=\infty$

$g(z)=\frac{az+b}{cz+d}$.

$g(1)=\frac{a+b}{c+d}=\infty$ gir at $d=-c$.

$g(i)=\frac{ai+b}{c(i-1)}=i\Rightarrow c(-1-i)=ai+b$, så $a=b=-c$, så

$g(z)=\frac{az+a}{-az+a}=\frac{z+1}{-z+1}$

Merk at i det utvidede komplekse plan (Riemannsfæren), så skiller man ikke mellom $\pm\infty$, men regner alle uendeligheter som $\infty$. Dermed gir det mening å si at $g(1)=\infty$, selv om grensen ikke eksisterer i $\mathbb{R}$.

plutarco wrote:
Merk at i det utvidede komplekse plan (Riemannsfæren), så skiller man ikke mellom $\pm\infty$, men regner alle uendeligheter som $\infty$. Dermed gir det mening å si at $g(1)=\infty$, selv om grensen ikke eksisterer i $\mathbb{R}$.

Takker og bukker!