matematikk.net

Hei. Skjønner ikke denne oppgaven, noen som kan forklare og hjelpe?

a) Funksjonen f(x) er kontinuerlig og tilfredstiller f(x)>0 for alle x _> 0. Funksjonen g(x) er definert ved
[tex]g(x)=\int_{0}^{x} f(t)dt[/tex]
for x >_ 0. Begrunn at g(x) må ha en invers funksjon g^-1 (y)

b) La f(x) = e^-3x, der vi fremdeles bare bruker x _> 0, og definer g(x) på samme måte som i (a). Beregn g(x) og den inverse funksjonen [tex]g^{-1}(y)[/tex] fra (a). For hvilke y er [tex]g^{-1}(y)[/tex] definert?

Har kommet fram til at x= lny/3, men skjønner ikke hvordan jeg kan bruket det svaret..

a) Du må vise at g er injektiv.

Bevis ved motsigelse: Anta at det fins x,y, med y>x slik at g(x)=g(y). Da må $\int_0^x f(t)dt=\int_0^y f(t)dt$. Det betyr at $\int_{x}^y f(t)dt=0$. Fra ekstremverditeoremet må $f(t)\geq m>0$ på intervallet $[x,y]$. Dermed er $\int_{x}^y f(t)dt\geq \int_{x}^y m\,dt=(y-x)\cdot m>0$, noe som gir en motsigelse. Ergo må $g$ være injektiv, og derfor inverterbar.

Eventuelt kan du argumentere med at $g'=f>0$, fra fundamentalteoremet, så g er strengt voksende, og dermed injektiv. Bevis: Anta at det fins x,y med y>x slik at g(x)=g(y). Da er $0=\frac{g(y)-g(x)}{y-x}$. Middelverditeoremet sier da at det må eksistere en $c\in (x,y)$ slik at g'(c)=0, men det motsier premisset om at $g'>0$.

Trenger mest hjelp med oppgave b, noen som kan hjelpe?

Hva har DU prøvd?

[tex]f(x)=e^-3x = y=e^-3x = lny=lne^-3x = lny=3xlne = lny=-3x =x=lny/3[/tex]

Har funnet ut dette svaret, men forstår ikke helt hva oppgaven egentlig spør om.. Skal jeg sette f(x) inn i integralet eller.. Er helt lost dessverre..

$g(x) = - \frac 13e^{-3x} + \frac 13$