matematikk.net

Heisann, har en oppgave her med et par unøyaktige formuleringer, og jeg lurer på om noen kan gi meg en kort tilbakemelding på løsningen min ettersom jeg ikke har fasit.

Let $M$ be a large real number. Explain briefly why there must be exactly one root $w$ of the equation $Mx=e^x$ with $w>1$. Why is $\log M$ a reasonable approximation to $w?$ Write $w=\log M+y$. Can you give an approximation to $y$, and hence improve on $\log M$ as an approximation to $w?$

Første del er grei nok, men hvordan viser jeg at $\log M$ er en rimelig tilnærming til $w?$ Prøver å sette inn dette og se hva som skjer, men uansett hva jeg gjør så klarer jeg ikke å overbevise meg selv om at $\log M$ faktisk er en god tilnærming. Hvis man setter inn $w=\log M$ så vil $\lim_{M\to\infty} LHS-RHS=\infty$ (med mindre jeg er helt på jordet), men jeg håpet jo på noe i motsatt retning

Siste del går bedre: vi setter $x=\log M +y$:
\[ M(\log M+y)=e^{\log M+y}\iff \log M+y=e^y\iff y=\log(\log M+y)\approx \log(\log M). \]
Dette holder siden $y < \log M$ og
\[ \lim_{M\to \infty} \frac{\log(2\log M)}{\log(\log M)}=1. \]
En bedre tilnærming for $w$ er derfor $\log M + \log(\log M)$, og i lys av dette så virker jo $w\approx \log M$ ikke så altfor ille.

Why is $\log M$ a reasonable approximation to $w?$

Likningen er ekvivalent med
$x-\log x=\log M$

I teksten står det at rota w>1, så det innbyder til å foreta en Taylorutvikling av log x om x=1.

Nullte ordens approksimasjon av $\log x$ omkring punktet x=1 er 0, dermed blir venstresida bare x, og en tilnærmet løsning blir $x=\log M$.

stensrud wrote:
Siste del går bedre: vi setter $x=\log M +y$:
\[ M(\log M+y)=e^{\log M+y}\iff \log M+y=e^y\iff y=\log(\log M+y)\approx \log(\log M). \]

Ser rett ut dette. Dette er jo essensielt taylorutviklinga til log(1+x) om x=0 til nullte orden.

stensrud wrote:Heisann, har en oppgave her med et par unøyaktige formuleringer, og jeg lurer på om noen kan gi meg en kort tilbakemelding på løsningen min ettersom jeg ikke har fasit.

Let $M$ be a large real number. Explain briefly why there must be exactly one root $w$ of the equation $Mx=e^x$ with $w>1$. Why is $\log M$ a reasonable approximation to $w?$ Write $w=\log M+y$. Can you give an approximation to $y$, and hence improve on $\log M$ as an approximation to $w?$

Er bare litt nysgjerrig! Hvilke type matematikk-kurs er dette?
Reell analyse?

Takk Plutarco! Er ikke kjent med taylorrekker enda, så skal sjekke det ut.

Janhaa wrote:Er bare litt nysgjerrig! Hvilke type matematikk-kurs er dette?
Reell analyse?

Det er fra en opptaksprøve til Cambridge, gitt før intervjuene. Skal kunne løses med matte fra tilsvarende vgs i Storbritannia.