BiterPhobic wrote:Lurer på om noen kan hjelpe meg med en oppgave jeg ikke får til. Oppgaven lyder som følger:
La (x,y) være rektangelet sitt hjørne i 1.kvadrant. Sett opp et uttrykk for arealet av rektangelet uttrykt ved x og y.
Bestem x og y slik at arealet av rektangelet blir størst mulig. Finn det største arealet.
Rektangelet er avgrenset av skjæringskurven C: [tex]2x^2 + y^2 = 12[/tex]
Areal av rektangel er gitt ved lengde x bredde, altså er $A(x,y) = xy$.
Vi ønsker å maksimere $A(x,y) = xy$ i henhold til kravet at $g(x,y) = 2x^2 + y^2 - 12 = 0, x,y > 0$. Vi bruker en Lagrange-multiplikator, og ønsker å finne kritiske punkter til funksjonen $G(x,y,\lambda) = A(x,y) - \lambda G(x,y) = xy - \lambda(2x^2 + y^2 - 12)$.
$\displaystyle\begin{cases} \frac{\partial G}{\partial x} = y - 4\lambda x = 0 \\ \frac{\partial G}{\partial y} = x - 2\lambda y = 0 \\ \frac{\partial G}{\partial\lambda} = 2x^2 + y^2 - 12 = 0\end{cases}$
Fra de to første likningene ser vi at $\lambda = \frac{y}{4x} = \frac{x}{2y}$, så $y^2 = 2x^2$. Bruker vi dette i den tredje likningen (kravet) får vi at $2y^2 = 12$, så $y^2 = 6$ og derfor er $y=\sqrt{6}$ ettersom $y > 0$. Dermed er $x^2 = \frac{y^2}{2} = \frac{6}{2} = 3$, så $x = \sqrt{3}$.
Altså gir $(x,y) = \left(\sqrt{3},\sqrt{6}\right)$ størst areal.
I dette tilfellet er arealet lik $A = A\left(\sqrt{3},\sqrt{6}\right) = \sqrt{3}\cdot\sqrt{6} = \sqrt{2\cdot 3^2} = 3\sqrt2$.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Vi kan generalisere denne prosessen til en generell ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$: Formelen for arealet av rektangelen er fremdeles $A(x,y) = xy$, så $G(x,y,\lambda ) = xy - \lambda\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1 \right)$, og likningene vi nå må løse er
$\displaystyle\begin{cases} \frac{\partial G}{\partial x} = y - \frac{2\lambda x}{a^2} = 0 \\ \frac{\partial G}{\partial y} = x - \frac{2\lambda y}{b^2} = 0 \\ \frac{\partial G}{\partial \lambda} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1 = 0 \end{cases}$.
Igjen, fra de to første likningene får vi at $\lambda = \frac{a^2 y}{2x} = \frac{b^2 x}{2y}$, så $\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}$, og derfor er $2\frac{x^2}{a^2} = 1$, så $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Det følger at $y = \frac{b}{\sqrt{2}}$, så det maksimale arealet blir $A = A\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right) = \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{ab}{2}$.
I eksempelet ditt hadde vi ellipsen $\displaystyle C: 2x^2 + y^2 = 12$, altså $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{12} = 1 $.
Vi ser at $a= \sqrt{6}$ og $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, så $\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ og $\frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$, hvilket stemmer med våre resultater.