matematikk.net

Hei Solar... jeg har lett å forvirre meg med formlen a(n)=a(1)*K^(n-1), og nå refererer jeg også til tema: geometriske rekker som du svarte på. Har du noen tips til hvordan jeg kan oppdage om en følge starter med a(0) eller a(1).. a(n) evt. a(n+k), mer konkret.. i oppgaven står det at det i 1981 var utslippet 126000 tonn, hvorfor kunne ikke a(1)=126000K^(n-1)???

.. hei igjen..

samme problem har jeg med denne oppgaven... klarer ikke helt å se det...

Et dyr spiser forurenset mat og får i seg a mg av et giftstoff hver morgen. Vi antar at 1% av alt stoffet som dyret har i kroppen rett etter et måltid, forsvinner ut av kroppen før neste måltid. Anta at dyret rett etter et gitt måltid har A(0) mg av giften i kroppen. La A(n) være mengden av gift i dyrekroppen rett etter måltidet n dager senere (n=1,2,3,4...)

a) Still opp et utrykk for A(1), A(2), A(3) utrykt ved a og A(0), og finn formlen for A(n)

Jeg vet hva svaret er, men trenger hjelp til resonnementet... vær så vennlig å forklar... jeg trenger å se dette...

Takk...

Umiddelbart etter måltidet den n-te morgenen er giftinnholdet i dyret a + 99% av giften den hadde i kroppen umiddelbart etter måltidet dagen før, dvs. dag n-1. Altså må

(1) A[sub]n+1[/sub] = 0,99A[sub]n[/sub] + a

for alle n>=0. Herav følger at

A[sub]1[/sub] = 0,99A[sub]0[/sub] + a = 0,99A(0) + a

A[sub]2[/sub] = 0,99A[sub]1[/sub] + a = 0,99(0,99A(0) + a) + a = 0,99[sup]2[/sup]A(0) + a(0,99 + 1).

A[sub]3[/sub] = 0,99A[sub]2[/sub] + a = 0,99(0,99[sup]2[/sup]A(0) + a(0,99 + 1)) + a = 0,99[sup]3[/sup]A(0) + a(0,99[sup]2[/sup] + 0,99 + 1).

Ut fra disse utregningene ser det ut som

A[sub]n[/sub] = 0,99[sup]n[/sup]A(0) + a(0,99[sup]n-1[/sup] + 0,99[sup]n-2[/sup]+ ...+ 0,99 + 1) = 0,99[sup]n[/sup]A(0) + a(0,99[sup]n[/sup] - 1)/(0,99 - 1)
= 0,99[sup]n[/sup]A(0) + 100a(1 - 0,99[sup]n[/sup]).

Vi kan vise at denne formelen er korrekt ved å verifisere at den tilfredsstiller den rekursive formelen (1):

0,99A[sub]n[/sub] + a = 0,99[0,99[sup]n[/sup]A(0) + 100a(1 - 0,99[sup]n[/sup])] + a = 0,99[sup]n+1[/sup]A(0) + 100a(0,99 - 0,99[sup]n+1[/sup] + 0,01) = 0,99[sup]n+1[/sup]A(0) + 100a(1 - 0,99[sup]n+1[/sup]) = A[sub]n+1[/sub].



Du kan selv velge om du vil starte en følge med a[sub]0[/sub] eller a[sub]1[/sub]. Mitt inntrykk er at i de fleste oppgaver om følger nummereres elementene 0, 1, 2,.... (oppgaven ovenfor er et eksempel). Hvis ikke følgen er eksplisitt angitt, kan du selv bestemme om du vil kalle første element i følgen for a[sub]0[/sub] eller a[sub]1[/sub]. I en geometrisk rekke med kvotient k og elementer a[sub]n[/sub] er a[sub]i[/sub]/a[sub]j[/sub] = k[sup]i-j[/sup], dvs. at a[sub]i[/sub] = a[sub]j[/sub]*k[sup]i-j[/sup]. Så er a[sub]0[/sub] første element i følgen, blir a[sub]i[/sub] = a[sub]0[/sub]*k[sup]i[/sup]. Og er a[sub]1[/sub] første element i følgen, blir a[sub]i[/sub] = a[sub]1[/sub]*k[sup]i-1[/sup].