matematikk.net

Har fått denne oppgaven her, og aner ikke hvordan jeg skal gå løs på den. Kan noen hjelpe? Tenker at b er grei så lenge jeg har funnet svaret på a.

La T(t) være temperaturen til et legeme ved tiden t, og la A være den konstante temperaturen til omgivelsene. Newtons avkjølingslov sier:
(∗) T′(t) = k(T(t) − A),
der k er en konstant. La T0 være temperaturen til legemet ved tiden t = 0.
(a) Omskriv differensialligningen (∗) ved hjelp av substitusjonen u(t) = T (t) − A og bruk dette til ̊a finne T(t) uttrykt ved T0, A og k.
(b) Du kommer hjem til studentkollektivet og finner en av dine samboere myrdet p ̊a gulvet. Du merker at termostaten i rommet er satt p ̊a 22◦C. Mens du venter p ̊a politiets ankomst, tar du frem C.S.I.-begynnersettet du fikk til jul og m ̊aler kroppstemperaturene 25,5◦C kl 22:11 og 24,2◦C kl 23:11 p ̊a den døde kroppen. N ̊ar ble din samboer drept, dersom vi regner med at hans vanlige kroppstemperatur er 37◦C ?

Trur dette skal stemme:

[tex]u(t)=T(t)-A[/tex]
DVs
[tex]u ' (t) = T ' (t)[/tex]
altså:
[tex]u ' (t) = k\cdot u(t)[/tex]
.
.
.
[tex]\int \frac{du}{u}=k \int dt[/tex]

[tex]\ln(u)=k\cdot t + d[/tex]

[tex]u(t)=c\cdot e^{k\cdot t}[/tex]
DVs
[tex]T(t)=A + T_o\cdot e^{kt}[/tex]

hvordan finner jeg k?

Du har at temperaturen i rommet er 22 grader. Det er den verdien T(t) skal gå mot når t blir veldig stor. Altså må A = 22, siden eksponentialfunksjonen er avtagende. Nå vil du finne $T_0$. Vi sier at T(0) = 25,5 og T(1) = 24,2. Du vet at $T_0e^{noe * 0} = T_0$, altså må $T(0) = 22 + T_0 = 25,5 \Rightarrow T_0 = 2,5$

Nå mangler vi bare k. Den kan vi finne ved å løse $T(1) = 24,2 = 22 + 2,5e^{k*1} \Rightarrow k = ln(0,88) = −0,1278333715$

Da har vi funnet at $T(t) = 22 + 2,5e^{−0,1278333715t}$
Videre får vi opplyst at kroppstemperaturen antakelig var 37 grader. Da kan vi finne ut når vedkommende ble drept ved å løse
$T(t) = 37 \\
37 = 22 + 2,5e^{−0,1278333715t} \\
15 = 2,5e^{−0,1278333715t} \\
6 = e^{−0,1278333715t} \\
ln(6) = −0,1278333715t \\
t = −14,016367152$

Vedkommende ble drept for 14 timer siden, ca. 8:10.

Det kan vel ikke stemme? Siden kroppstemperaturen har sunket med 1,3 grader siste timen og den vil synke mindre og mindre kan ikke det være mer enn (37-24,2)/1.3 timer siden? Så et sted under ti timer må det være?

Du hadde bare brukt 2,5 istedenfor 3,5. Fikk at det var 3,136 timer siden. Høres ikke det mer riktig ut?

Beklager, har en liten regnefeil i utregningen, skal fikse det opp.

EDIT:

Ja, det kan stemme. Du må nok finne en ny verdi for k om du ikke har gjort det.

Ny k = −0,4643056081

$T(t) = 22 + 3,5*e^{−0,4643056081t} \\
37 = 22 + 3,5*e^{−0,4643056081t} \\
15 = 3,5*e^{−0,4643056081t} \\
ln 4,2857142857 = −0,4643056081t \\
t = −3,1343305082$