matematikk.net

Hei

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?

A(1,1,0), B(3,4,1), C(1,5,2), D(-1,2,1) og vinkel B = 90 grader. Arealet av parallellogrammet ABCD = 2* kvadratroten av 13. Likningen for planet gjennom A,B,C og D er x-2y+4z+1=0. Avstanden fra punktet S(3,-1,9) til parallellogrammet ABCD er 2* kvadratroten av 21. Linja l gjennom A og S er gitt ved x=1+2t, y=1-2t og z=9t.

Kula K med sentrum i S tangerer parallellogrammet ABCD. Likningen for kula er (x-3)^2+(y+1)^2+(z-9)^2=84. Koordinatene til skjæringspunktene mellom kula K og linja l er (1.06, 0.94, 0.27) og (4.94, -2.94, 17.73).

Oppgaven jeg lurer på er: finn koordinatene til tangeringspunktet mellom kula K og parallellogrammet.

Jeg tenkte at vektor SP =[x-3,y+1,z-9] = a* normalvektor = a* [1,-2,4].
Jeg finner ut at x=a+3, y=-2a-1 og z= 4a+9.
Deretter tenker jeg at lengden av SP er 2* kvadratroten av 21. Jeg løser likningen med ved å sette inn verdiene for x,y og z som jeg fant uttrykt ved a.

Men da finner jeg to tangeringspunkter: (5,-5,17) og (-1,7,-7). Men på fasiten står det (1,3,1).

Jeg forstår ikke hva jeg skal gjøre her....

Ettersom radiusen står normalt på tangenten kan vi bruke at [tex]\vec{r}=\vec{n}[/tex].

Og en linje som går gjennom sentrum i kula og har en retningsvektor [tex]\vec{n}[/tex] kan skrives som:
[tex]\ell ;\left \{ x=3+k,y=-1-2k,z=9+4k \right \}[/tex]
Finner da skjæringen mellom denne linja og kula med likninga: [tex](x-3)^2+(y+1)^2+(z-9)^2=84[/tex]

[tex]T\Rightarrow (1,3,1)[/tex]

Drezky wrote:Ettersom radiusen står normalt på tangenten kan vi bruke at [tex]\vec{r}=\vec{n}[/tex].

Og en linje som går gjennom sentrum i kula og har en retningsvektor [tex]\vec{n}[/tex] kan skrives som:
[tex]\ell ;\left \{ x=3+k,y=-1-2k,z=9+4k \right \}[/tex]
Finner da skjæringen mellom denne linja og kula med likninga: [tex](x-3)^2+(y+1)^2+(z-9)^2=84[/tex]

[tex]T\Rightarrow (1,3,1)[/tex]

Sant det!! Tusen takk

Drezky wrote:Ettersom radiusen står normalt på tangenten kan vi bruke at [tex]\vec{r}=\vec{n}[/tex].

Og en linje som går gjennom sentrum i kula og har en retningsvektor [tex]\vec{n}[/tex] kan skrives som:
[tex]\ell ;\left \{ x=3+k,y=-1-2k,z=9+4k \right \}[/tex]
Finner da skjæringen mellom denne linja og kula med likninga: [tex](x-3)^2+(y+1)^2+(z-9)^2=84[/tex]

[tex]T\Rightarrow (1,3,1)[/tex]

Men jeg får to forskjellige verdier for t, altså t = 2 eller t=-2.

Dermed får jeg to punkter (5,-5,17) og (1,3,1). Hvordan skal jeg vise at det første punktet ikke er riktig?