matematikk.net

Oppgave 5
I denne oppgaven studerer vi ligningen
(∗) e
−x = x
3
,
der x ∈ R.
(a) Begrunn at ligningen (∗) har en løsning mellom 0 og 1.
(b) Begrunn at ligningen (∗) ikke har flere enn denne ene løsningen.
I resten av oppgaven kaller vi (den entydige) løsningen til (∗) for r.
(c) Bruk Newtons metode ´en gang med startverdi x0 =
1
2
til ˚a finne en tilnærmet
verdi for r.
(d) Begrunn om den tilnærmede verdien du fant i (c) er større eller mindre enn
r, uten bruk av kalkulator og uten ˚a sette inn verdien i (∗). (Hint: tenk p˚a
hvordan Newtons metode fungerer rent geometrisk.)
(e) Begrunn at r er et fikspunkt til funksjonen f(x) = tredjeroten til (e^-x)

Har gjort a-d, men klarer ikke å begrunne hvorfor r er et fikspunkt til den funskjonen. hva er sammenhengen?

r er et fikspunkt dersom f(r)=r, og siden r er definert som en løsning av likningen din, så er jo dette det samme som likningen.

Ser at første likning ikke kom opp som den skulle. likningen i starten er e^−x = x^3
, så r er verdien på x som løser den likningen. r er ca .85
Men så ber de i e) om å begrunne at r er et fikspunkt for tredjeroten av (e^-x)

Fredriksen wrote:Ser at første likning ikke kom opp som den skulle. likningen i starten er e^−x = x^3
, så r er verdien på x som løser den likningen. r er ca .85
Men så ber de i e) om å begrunne at r er et fikspunkt for tredjeroten av (e^-x)

Ja, men likningen $e^{-x}=x^3$ er ekvivalent med $\sqrt[3]{e^{-x}}=x$. VS er jo lik funksjonen f(x), dermed vil et fikspunkt r for f(x) være ekvivalent med en løsning r av likningen din.

AHA! Tusen takk