matematikk.net

Hei!

Sliter med å finne fasit til en oppgave her, og hadde satt stor pris på hjelp.

Betrakt funksjonen f(x)= x^2/x^2+1. For hvilken verdi av x vokser f(x) fortest? Legg inn svaret med to desimaler.

Anyone?

Funksjonen vokser/synker raskest i ett av vendepunktene da det er en overgang fra konveks/konkav krumming til konkav/konveks krumming.

[tex]f''(x)=0[/tex]
Drøft vha. fortegnslinjer
Så finner du hva x=

Ok, tusen takk!

Gjorde dette og fikk f (x) = 2. Ser dette riktig ut, eller har jeg gjort feil?

Du skal altså finne infleksjonspunktet til grafen

Tolker det som at det er
[tex]f(x)= \frac{x^2}{x^2+1}[/tex]
[tex]f'(x)=\left ( \frac{x^2}{x^2+1} \right )'=\frac{2x*(x^2+1)-x^2*(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2}=\frac{2x}{(x^2+1)^2}[/tex]

[tex]f''(x)=\left ( \frac{2x}{(x^2+1)^2} \right )'=\frac{-6x^2+2}{x^6+3x^4+3x^2+1}\overset{f''(x)=0\Leftrightarrow}{\rightarrow} x\in \left \{ -\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3} \right \}[/tex]

Dermed blir vendepunktene [tex](-\frac{\sqrt{3}}{3}),f(-\frac{\sqrt{3}}{3})[/tex] og [tex](\frac{\sqrt{3}}{3}),f( \frac{\sqrt{3}}{3})[/tex]


Ser du for hvilke verdi x vokse raskest nå? tenk tangent, stigningtall, overgang .

EDIT: Visste ikke at moderatorer kan gå inn å endre på innlegget? Takk forresten

Skjønner delvis utregningen din, men sliter fortsatt i og med at jeg nettopp har begynt med derivasjon.

Skal i studentass time neste uke så da kan jeg få litt mer forklaring

Tusen takk for svar så langt!

jar88 wrote:Skjønner delvis utregningen din, men sliter fortsatt i og med at jeg nettopp har begynt med derivasjon.

Skal i studentass time neste uke så da kan jeg få litt mer forklaring

Tusen takk for svar så langt!

Bruker at: [tex](\frac uv)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

Hvor du da for den førstederiverte får:

[tex]u=x^2[/tex] og [tex]u'=2x[/tex]

[tex]v=x^2+1[/tex] og [tex]v'=2x[/tex]

Takk for alle svar, tips og hint!

Har ikke fått til et svar med to desimaler, men mulig jeg har jobbet litt for lenge med matte i dag.

Tror nok det er best jeg går studass timen og får litt hjelp, så er det nok enklere enn jeg gjør det til.

Men takk igjen folkens!

Du kan gå frem slik altså:

Du har funksjonen [tex]f(x)=\frac{ x^2}{ x^2+1}[/tex] og blir bedt om finne for hvilken verdi x som gjør at grafen vokser fortest.
Her må man se på vendepunkter og krumingsforhold (fordi enten kan du finne argumentverdien til hvor den vokser raskest/eller synker raskest. )

Husk også at en graf [tex]f[/tex] vokser når den deriverte er [tex]f'>0[/tex] og avtar når den deriverte er [tex]f'<0[/tex]
Slik at vi får et stasjonært punkt (potensielle ekstremalpunkter) på grafen. Den deriverte beskriver forløpet til grafen, mens den dobbelderiverte beskriver forløpet til den deriverte, skjønner du? Så det vi må lete etter er et makspunkt på grafen til [tex]f'[/tex]

Fra fortegnslinjer får man at:
[tex]f''(x)<0[/tex] ------->>> graf vender sin hule side ned (konkav kurve)
[tex]f''(x)>0[/tex] ------->>> graf vender sin hule side opp (konveks kurve)

Med andre ord: når [tex]f''(x)<0[/tex] vil den deriverte [tex]f'(x)[/tex] avta. Husk at den er strengt minkende siden den kan avta mer og mer eller så kan grafen vokse mindre og mindre. Mens [tex]f''(x)>0[/tex] betyr at [tex]f'(x)[/tex] er positiv, og grafen er strengt voksende --> vokser mer og mer eller så avtar grafen mindre og mindre. Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende fra konkav til konveks eller vice versa kalles et vendepunkt. Her må altså [tex]f'(x)[/tex] ha sin største eller sin minste verdi, sant vel?

[tex]f(x)=\frac{ x^2}{ x^2+1}[/tex]

Anvend brøkregelen [tex]\left ( \frac{u}{v} \right )'\Longrightarrow \frac{u'*v-u*v'}{v'}[/tex] samt [tex]f(x)\Rightarrow f(x)=g(u(x))\Rightarrow f'(x)=g'(u)*u'(x)[/tex]

Desimaltallet som oppgaven kreves kan lett regnes [tex]\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\approx \pm 0.58[/tex]


Følte dette var dårlig forklart, kjenner meg svært døsig....

Haha, er døsig selv her Takk for svar!

Jeg tar med meg 0.58 der som svar, og flere fremgangsmåter som dere har kommet med er notert. Så skal jeg heller regne ut litt i morgen når jeg er opplagt!