matematikk.net

Sitter med en litt fiffig oppgave her.

Hvis x[sup]6[/sup] + 6x[sup]5[/sup] + 15x[sup]4[/sup] + 20x[sup]3[/sup] + 3x[sup]2[/sup] - 18x - 11 = 0 og x ≠ -1, hva er da verdien av uttrykket x(x[sup]3[/sup] + 4x[sup]2[/sup] + 6x + 4)?

Har løsningen til oppgaven, og den sier at svaret er 11. Den forklarer videre at sjettegradspolynomet kan omskrives til (x + 1)[sup]6[/sup] - 12(x + 1)[sup]2[/sup]. Siden x ≠ -1, får vi (x + 1)[sup]4[/sup] = 12. Verdien av uttrykket x(x[sup]3[/sup] + 4x[sup]2[/sup] + 6x + 4) = (x + 1)[sup]4[/sup] - 1 = 11.

Skjønner lite (om noe) av denne forklaringen - noen her som kan gjøre det litt mer forståelig?

Binomialformelen sier at

(1) (x + y)[sup]n[/sup] = [sigma][/sigma](k=0->n) C(n,k)*x[sup]k[/sup]*y[sup]n-k[/sup]

der C(n,k) er binomialkoeffisienten n!/[k!*(n - k)!]. Setter vi n=6 og y=1 i (1), får vi at

(x + 1)[sup]6[/sup] = x[sup]6[/sup] + 6x[sup]5[/sup] + 15x[sup]4[/sup] + 20x[sup]3[/sup] + 15x[sup]2[/sup] + 6x + 1.

M.a.o. er

x[sup]6[/sup] + 6x[sup]5[/sup] + 15x[sup]4[/sup] + 20x[sup]3[/sup] + 3x[sup]2[/sup] - 18x - 11
= (x[sup]6[/sup] + 6x[sup]5[/sup] + 15x[sup]4[/sup] + 20x[sup]3[/sup] + 15x[sup]2[/sup] + 6x + 1) - (12x[sup]2[/sup] + 24x + 12)
= (x + 1)[sup]6[/sup] - 12(x + 1)[sup]2[/sup]
= (x + 1)[sup]2[/sup][ (x + 1)[sup]4[/sup] - 12 ]
= (x + 1)[sup]2[/sup][ (x[sup]4[/sup] + 4x[sup]3[/sup] + 6x[sup]2[/sup] + 4x + 1) - 12 ] (Beregner (x + 1)[sup]4[/sup] ved å sette n=4 og y=1 i (1))
= (x + 1)[sup]2[/sup](x[sup]4[/sup] + 4x[sup]3[/sup] + 6x[sup]2[/sup] + 4x - 11)
= 0.

Ettersom x<>-1, må

x[sup]4[/sup] + 4x[sup]3[/sup] + 6x[sup]2[/sup] + 4x - 11 = 0

x(x[sup]3[/sup] + 4x[sup]2[/sup] + 6x + 4) = 11.

Oh my.

Takker for svar. Kan ikke skryte av at jeg skjønner så veldig mye mer nå heller, siden jeg ikke har lært noe om binomialkoeffisient osv., men det går greit.

Oppgaven var fra andre runde av Abelkonkurransen fra 2003. Skal delta i andre runde i år (førstkommende torsdag), og så holdt jeg på med noen gamle oppgaver da, vet du. Får jeg en slik oppgave på torsdag er jeg jo ferdig (men jeg har jo innsett at sjansene mine til å hevde meg er usannsynlig små likevel, så ...).