k[x,y]/(xy) = A

[CharlieEppes]

Let A = k[x, y]/(xy).
sprsm. 1
Hvordan kan jeg tolke elementene i A, hvordan "ser de ut"?

a. Show that any element of A has a unique representation in the form
a+f(x)x+g(y)y with a ∈ k,f ∈ k[x],g ∈ k[y].

sprsm. 2
Fikk et hint om at alle polynomene med xy i alle ledd er 0 polynomer, og derfor kan man skrive elementene på formen som er over. Noen som kan forklare hvorfor det er slik, for jeg så ikke helt hvorfor :/
For å vise unikhet, er det nok å sette opp ligningen?: a + ƒ(x)x + g(y)y = b + m(x)x + n(y)y
(a-b) + (ƒ(x) - m(x))x + (g(y)-n(y))y = 0
=> a = b , ƒ(x) = m(x), g(y) = n(y)

b. How do you multiply two such elements? Denne tror jeg at jeg har klart. man setter opp ligningen (a + ƒ(x)x + g(y)y) * (b + m(x)x + n(y)y)
og setter alle leddene som inneholder xy lik 0, eller?

Disse har jeg ikke klart:
c. Find a maximal ideal in A.
d. Prove that (x) is a prime ideal in A

[Gustav]

Let A = k[x, y]/(xy).
sprsm. 1
Hvordan kan jeg tolke elementene i A, hvordan "ser de ut"?

a. Show that any element of A has a unique representation in the form
a+f(x)x+g(y)y with a ∈ k,f ∈ k[x],g ∈ k[y].

Elementene i $A$ er på formen $f+(xy)$ der $f\in k[x,y]$. Eksplisitt er $f=\sum_{i,j\in\mathbb{N}} k_{ij}x^iy^j$ der $k_{ij}\in k$ og det må eksistere et naturlig tall $N$ slik at $k_{ij}=0$ for alle $i,j>N$.

Hva har du prøvd på a) ?

Hint: Husk at du kan trekke fra alle ledd i $f$ som er på formen $g(x,y)xy$ der $g\in k[x,y]$, fordi disse kan betraktes som 0 siden de er elementer i $(xy)$. Så f.eks. hvis $f=xy^2+x+y$, så er $f+(xy)=xy^2+x+y+(xy)=(xy ^2+(xy)) + (x+y+(xy) = (xy)+(x+y+(xy))=x+y+(xy)$, der vi har brukt addisjonsreglene for ekvivalensklasser (Hvis $I$ er et ideal så er $(a+I)+(b+I)=a+b+I$, og hvis $a\in I$ så er $a+I=I$ (a må nødvendigvis ha samme ekvivalensklasse som nullelementet)

[CharlieEppes]

ja, hadde gjort noe, men det var basert på det halvveis greiene jeg ikke forstod fra tidligere.
Har nå prøvd på nytt:

[tex]A = \frac{k[x,y]}{(xy)}[/tex] elementene i [tex]A[/tex] er på formen
[tex]f + (xy) \ \epsilon \ A \ ,f \ \epsilon \ k[x,y][/tex]
Hvor f kan skrives som:
[tex]a + m(x)x + n(y)y + g(x,y)xy[/tex]
[tex]=> f + \left \langle xy \right \rangle = (a + m(x)x + n(y)y + \left \langle xy \right \rangle) + (g(x,y)xy +\left \langle xy \right \rangle)[/tex]
[tex]=> g(x,y)xy + \langle xy \rangle \ \epsilon \ \langle xy \rangle[/tex]
[tex]=> (a + m(x)x + n(y)y + \langle xy \rangle) + ( \langle xy \rangle )[/tex]
[tex]=> a + m(x)x + n(y)y + \langle xy \rangle[/tex]
der a i k, m(x) i k[x] og n(y) i k[y].
Vi lar: a + f(x)x + g(y)y og b + m(x)x + n(y)y være to elementer fra A representert som over.
Sett: a + f(x)x + g(y)y = b + m(x)x + n(y)y => (a-b) + (f(x) - m(x))x + (g(y) - n(y))y = 0 => a = b , f(x) = m(x) og g(y) = n(y).
Vi har da at representasjonen er unik.

Dette er hva jeg har nå da, ser det rett ut, eller bør jeg argumentere for hvorfor a + fx + gy representerer a + fx + gy + [tex]\langle xy \rangle[/tex]

[Gustav]

Sett: a + f(x)x + g(y)y = b + m(x)x + n(y)y => (a-b) + (f(x) - m(x))x + (g(y) - n(y))y = 0 => a = b , f(x) = m(x) og g(y) = n(y).
Vi har da at representasjonen er unik.

Dette er hva jeg har nå da, ser det rett ut, eller bør jeg argumentere for hvorfor a + fx + gy representerer a + fx + gy + [tex]\langle xy \rangle[/tex]

Det du må anta er at $a + f(x)x + g(y)y$ og $b + m(x)x + n(y)y$ er to representanter for samme ekvivalensklasse, altså at

$a + f(x)x + g(y)y +(xy)= b + m(x)x + n(y)y +(xy)$. Da må

$a -b+ (f(x)-m(x))x + (g(y)-n(y))y +(xy)= (xy)$, så det må finnes en $h(x,y)\in k[x,y]$ slik at

$a -b+ (f(x)-m(x))x + (g(y)-n(y))y=h(x,y)xy$.

Nå kan du sammenligne koeffisienter og konkludere.

[Gustav]

b. How do you multiply two such elements? Denne tror jeg at jeg har klart. man setter opp ligningen (a + ƒ(x)x + g(y)y) * (b + m(x)x + n(y)y)
og setter alle leddene som inneholder xy lik 0, eller?

Jo, men igjen, elementene er på formen $a + ƒ(x)x + g(y)y+(xy)$, så produktet blir

$\left (a + ƒ(x)x + g(y)y+(xy)\right )\cdot \left (b + m(x)x + n(y)y+(xy)\right )=ab+(am(x)+bf(x)+m(x)f(x)x)x+(an(y)+bg(y)+g(y)n(y)y)y+(xy)$

c. Find a maximal ideal in A.

Idealene i $k[x,y]/(xy)$ er på formen $I/(xy)$ der $I$ er et ideal i $k[x,y]$ som inneholder $(xy)$. Vi vet at

$I/(xy)$ er maksimalt dersom $I$ er maksimalt i $k[x,y]$.

Så hvis vi velger $I=(x,y)$, så er $I\supset (xy)$, og $I$ er maksimalt. Dermed er $(x,y)/(xy)$ et maksimalt ideal i $k[x,y]/(xy)$.

https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphi ... _theorem_2

[CharlieEppes]

Dette gav mening, takk for hjelpen.
Var første gang jeg har fått en god og klar forklaring på det. Boken tar alt for gitt og antar at man kan det, så den hopper over sånn småting...

https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphi ... _theorem_2

Når de skriver da (x) i d, mener de da (x)/(xy)?
også bruker vi fra linken at (x) primideal i k[x,y] = > (x)/(xy) er primideal i k[x,y]/(xy) = A?

[Gustav]

Når de skriver da (x) i d, mener de da (x)/(xy)?
også bruker vi fra linken at (x) primideal i k[x,y] = > (x)/(xy) er primideal i k[x,y]/(xy) = A?

Jeg stusset også litt over skrivemåten i oppgave d, men vi får tro at det er (x)/(xy) de mener.

Det er i alle fall klart at $(k[x,y]/(xy))/((x)/(xy))$ er isomorf med $k[x,y]/(x)$, og vi vet at $(x)$ er et primideal i $k[x,y]$ siden x er irredusibelt. Dermed er $k[x,y]/(x)$ et heltallsdomene, så $(k[x,y]/(xy))/((x)/(xy))$ er et heltallsdomene, og da må $(x)/(xy)$ være et primideal i A.

[CharlieEppes]

Herlig! takk for hjelpen, var supert forklart )