matematikk.net

Hei,
Jeg står litt fast med et integral som ser slik ut;
[tex]\int \frac{x+1}{x-1*x^2+x+1} dx[/tex] Dette kan vel skrives på måten: [tex]\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}[/tex]

Deretter ganger man med fellesnevner på begge sider og ganger ut og faktoriserer og kommer frem til følgende uttrykk (?):
[tex]x+1=x^2(A+B) + x(A-B+C)+A-C[/tex]

Det jeg ikke forstår hvordan man skal løse er dette. Hvordan kommer man frem til A, B og C slik at man kan jobbe videre. Har prøvd forklaringene i boken (kalkulus 4. utgave) de hopper over noen steg så jeg forstår det ikke helt.
På forhånd takk for hjelpen.

hen9ng wrote:Hei,
Jeg står litt fast med et integral som ser slik ut;
[tex]\int \frac{x+1}{x-1*x^2+x+1} dx[/tex] Dette kan vel skrives på måten: [tex]\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}[/tex]

Deretter ganger man med fellesnevner på begge sider og ganger ut og faktoriserer og kommer frem til følgende uttrykk (?):
[tex]x+1=x^2(A+B) + x(A-B+C)+A-C[/tex]

Det jeg ikke forstår hvordan man skal løse er dette. Hvordan kommer man frem til A, B og C slik at man kan jobbe videre. Har prøvd forklaringene i boken (kalkulus 4. utgave) de hopper over noen steg så jeg forstår det ikke helt.
På forhånd takk for hjelpen.

[tex]A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)=x+1[/tex]

[tex]Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C=x+1[/tex]

[tex]x^2{\color{Red}{(A+B)}}+x{\color{Green}{(A-B+C)}}+{\color{Blue}{A-C}}={\color{Red}{(0)}}x^2+{\color{Green}{(1)}}x+{\color{Blue}{1}}[/tex], så dette stemmer.

Videre må vi sammenlikne de ulike leddene. Konstantledd på VS må være lik konstantledd på HS, førstegrads x-ledd på VS må være lik førstegrads x-ledd på HS osv.

Sammenlikning av konstantledd gir oss at: [tex]{\color{Blue}{A-C}}={\color{Blue}{1}}[/tex]. Her blir det 1 siden konstantleddet på HS er 1.

Sammenlikning av x-ledd gir oss: [tex]{\color{Green}{A-B+C}}={\color{Green}{1}}[/tex]. Her blir det 1 siden det kun er én x på HS.

Sammenlikning av x^2-ledd gir oss: [tex]{\color{Red}{A+B}}={\color{Red}0}[/tex]. Her blir det 0 siden det ikke er noe andregradsledd på HS.

Da har du 3 likninger med 3 ukjente.

Genialt, da forstår jeg alt. Tusen takk for hjelpen. Det ble så mye tydeligere nå.