Split exact sequences

[CharlieEppes]

Give two short exact sequences of modules, which are not split exact. Explain why these sequences are not split exact.

Lurer på om det er en lett måte å konstruere en slik en, eller om man bare må finne en s.e.s. også teste om den er split exact frem til man finner en som er(eller ikke er split exact)?

[Kake med tau]

Hint: [tex]\mathbb{Z}_n\oplus \mathbb{Z}_m\cong \mathbb{Z}_{mn}\iff \gcd(m,n)=1[/tex]

Tørr ikke uttale meg om den finnes generelle metoder for å konstruere en. (edit: Metoden i hintet er kan brukes til å generere uendelig mange eksakte følger som ikke er splitt-eksakte, men tror ikke den dekker alle mulige tilfeller)

[CharlieEppes]

Fikk med meg fra en forelesning at denne ikke var split exact, men forstår ikke hvordan man kan vise til det.
[tex]0\rightarrow \mathbb{Z} \overset{\alpha}{\rightarrow}\mathbb{Z} \overset{\beta}{\rightarrow} \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}} \rightarrow 0[/tex]
Fra Prop-Def(Miles Reid; undergrad. commalg. side 45:
[tex]\mathbb{Z} \ncong \mathbb{Z} \oplus \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}[/tex]
for at den ikke skal være split exact, men klarer ikke vise dette..

Hint: [tex]\mathbb{Z}_n\oplus \mathbb{Z}_m\cong \mathbb{Z}_{mn}\iff \gcd(m,n)=1[/tex]

må vi da ha gcd ikke lik 1?

[Kake med tau]

må vi da ha gcd ikke lik 1?

Akkurat! Du kan f. eks prøve med [tex]0\rightarrow \mathbb{Z}_2\overset{\cdot 4}{\rightarrow} \mathbb{Z}_8\rightarrow \mathbb{Z}_4\rightarrow 0[/tex], og da siden [tex]\gcd(2,4)\neq 1[/tex] så er [tex]\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4\ncong\mathbb{Z}_8[/tex]

[Gustav]

[tex]\mathbb{Z} \ncong \mathbb{Z} \oplus \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}[/tex]

$\mathbb{Z} \oplus \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$ har et element av orden 2, nemlig (0,1), mens $Z$ ikke har det. Derfor er de ikke isomorfe.

$0\to Z_n\to Z_{nm}\to Z_m\to 0$

$\alpha: Z_n\to Z_{nm}$ gitt ved $\alpha(k)=mk \mod(nm)$
$\beta:Z_{nm}\to Z_m$ gitt ved $\beta(k)=k\mod (m)$

$im(\alpha) = ker(\beta) = \{0,m,2m,...,m(n-1)\}$,

så følgen er eksakt for alle positive heltall $n,m$. Den er i tillegg splitt hviss $gcd(n,m)=1$.

[CharlieEppes]

Orden for et element i en gruppe er slik at:
ord a = n , a^n = e.?
og i Z har vi ingen slike av orden 2,
a+a =/= 0 i Z, men (0,1) + (0,1) = (0,0)
hvis jeg husker rett?

Edit: bortsett fra e selv da i Z

[CharlieEppes]

så for å svare på oppgaven i starten:
[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{m} \overset{\alpha}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{mn} \overset{\beta}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{n} \rightarrow 0[/tex]
så velger vi bare m,n slik at [tex]gcd(m,n) \neq 1[/tex]
ex. m=3,n=9
eller
m=2,n=20, da har vi:
[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{2} \overset{\alpha}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{40} \overset{\beta}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{20} \rightarrow 0[/tex]
s.e.s. men ikke split exact?

[Kake med tau]

Orden for et element i en gruppe er slik at:
ord a = n , a^n = e.?
og i Z har vi ingen slike av orden 2,
a+a =/= 0 i Z, men (0,1) + (0,1) = (0,0)
hvis jeg husker rett?

Edit: bortsett fra e selv da i Z

Stemmer, og du kan også se at de ikke er isomorfe ved å se at [tex]\frac{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_2}{((0,1))}\cong\mathbb{Z}[/tex], og [tex]((0,1))\neq ((0,0))[/tex]

[Kake med tau]

så for å svare på oppgaven i starten:
m=2,n=20, da har vi:
[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{2} \overset{\alpha}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{40} \overset{\beta}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{20} \rightarrow 0[/tex]
s.e.s. men ikke split exact?

Jepp!

[CharlieEppes]

Let
[tex]0 \rightarrow L \overset{\alpha}{\rightarrow} M \overset{\beta}{\rightarrow} N \rightarrow 0[/tex]
be a s.e.s. of A-modules. Then 3 equivalent conditions:
i) there exists an isomorphism [tex]M \cong L \oplus N[/tex] under which [tex]\alpha[/tex] is given
by [tex]m \mapsto (m,0)[/tex] and [tex]\beta[/tex] by [tex](m,n) \mapsto n[/tex];
ii) there exists a section of [tex]\beta[/tex], that is, a map [tex]s : N \rightarrow M[/tex] such that
[tex]\beta \circ s = id_{N}[/tex];
iii) there exists a retraction of [tex]\alpha[/tex], that is, a map [tex]r : M \rightarrow L[/tex] such that
[tex]r \circ \alpha = id_{L}[/tex]

Noen som kan utdype 2 og 3, jeg forstår ikke helt hva de sier. evt. relatere de til et praktisk eksempel?

[Gustav]

Let
[tex]0 \rightarrow L \overset{\alpha}{\rightarrow} M \overset{\beta}{\rightarrow} N \rightarrow 0[/tex]
be a s.e.s. of A-modules. Then 3 equivalent conditions:
i) there exists an isomorphism [tex]M \cong L \oplus N[/tex] under which [tex]\alpha[/tex] is given
by [tex]m \mapsto (m,0)[/tex] and [tex]\beta[/tex] by [tex](m,n) \mapsto n[/tex];
ii) there exists a section of [tex]\beta[/tex], that is, a map [tex]s : N \rightarrow M[/tex] such that
[tex]\beta \circ s = id_{N}[/tex];
iii) there exists a retraction of [tex]\alpha[/tex], that is, a map [tex]r : M \rightarrow L[/tex] such that
[tex]r \circ \alpha = id_{L}[/tex]

Noen som kan utdype 2 og 3, jeg forstår ikke helt hva de sier. evt. relatere de til et praktisk eksempel?

La som i de tidligere innleggene, $M=Z_{mn}$.

Hvis gcd(m,n)=1 så er $Z_{mn}\cong Z_m\times Z_n$, så det betyr bare at i følgen

$0\to Z_m\to Z_{m}\times Z_n \to Z_n\to 0$, så vil

$\alpha:Z_m\to Z_m \times Z_n$ være gitt ved $\alpha(m)=(m,0)$, og
$\beta:Z_m\times Z_n \to Z_n$ være gitt ved $\beta(m,n)=n$

Da kan vi definere

$s: Z_n\to Z_m\times Z_n$ ved at $s(n)=(0,n)$ og
$r:Z_m\times Z_n \to Z_m$ gitt ved at $r(m,n)=m$

slik at $\beta\circ s = id_{Z_n}$ og $r\circ \alpha = id_{Z_m}$

[CharlieEppes]

a-ha, tror jeg bare ble satt ut av section og retraction og tenkte at dette var litt mer spesielt
takk for hjelp

[Gustav]

a-ha, tror jeg bare ble satt ut av section og retraction og tenkte at dette var litt mer spesielt
takk for hjelp

Flott, jeg burde vel kanskje brukt $\oplus$ istedet for det kartesiske produktet, men her blir det jo akkurat det samme.

[CharlieEppes]

a-ha, tror jeg bare ble satt ut av section og retraction og tenkte at dette var litt mer spesielt
takk for hjelp

Flott, jeg burde vel kanskje brukt $\oplus$ istedet for det kartesiske produktet, men her blir det jo akkurat det samme.

la ikke merke til det engang ^^