matematikk.net

Oppgave 8
(a) En kjegleformet vanntank (med spissen vendt oppover) med radius 1 meter
og høyde 3 meter tømmes for vann. Vis at når vannhøyden er h meter, der
0 ≤ h ≤ 3, er volumet av vann i tanken gitt ved
V (h) = π(h - [tex]\frac{h^{2}}{3}+\frac{h^{3}}{27}[/tex])

Hvordan finner jeg her ut hvor stor radiusen på kjeglen er ved de forskjellige høydene? Tenker at hvis jeg har formelen på det kan jeg dele kjeglen opp i 2 og finne volumet som totalvolumet minus volumet av den kjeglen som er igjen over vannstanden


.
(b) Når vannhøyden i tanken er 2 meter, tømmes tanken med en fart på 1/2 kubikkmeter
i minuttet. Hvor fort avtar vanndybden ved dette tidspunktet?

Har nå funnet at vinkelen på toppen er cos-1 (19/20) altså ca 18,195 grader. Sidene er kvadratroten av 10 for hele kjeglen. Men hvordan få et uttrykk for radius av den øverste kjeglen uttrykt ved høyden?

Vi vet at radiusen ved bunnen er 1, radiusen ved toppen er 0 og at sidekantene på kjegla er rette (konstant reduksjon i radius). Altså vet vi at radiusen minker med 1/3 per meter. Dette betyr at etter h meter er radiusen minket $1/3 \cdot h$. Prøv å sette inn tall for å sjekke at dette gir mening. Etter 0 meter har radiusen minket $1/3 \cdot 0 = 0m$, etter 3m har radiusen minket $1/3 \cdot 3 = 1m$ (så den har minket med 1m fra 1m til 0m). Siden dette er reduksjon og vi startet med 1m radius betyr det at etter h meter vil den nye radiusen være $(1-1/3h)$.

Nå kan du bare gunne på med den opprinnelige planen din, og glem det med vinkler.

Da satt (a)-oppgaven:) takk for hjelpen

Noen tips til hvordan å løse b)-oppgaven?