Finn ideal av k[x,y] med minst 4 generators.

[CharlieEppes]

Find an ideal I in k[x,y] which requires at least 4 generators. (There must be no way to generate it with less than 4 elements.) Test whether I is prime. Can you find any prime ideals in k[x,y] which requires at least 4 generators?

Klarer ikke å se at det må finnes et slikt ideal i k[x,y].

[Kake med tau]

Nå er jeg ikke helt sikker, men kanskje [tex]I=(x,y)^3=(x^3,x^2y, xy^2, y^3)[/tex] er en god kandidat? Går kanskje an å argumentere noe slik:
La oss ta ett og ett element ut av idealet, hvis vi får et mindre ideal uansett hvilket element vi tar ut så trenger [tex]I[/tex] 4 generatorer.

Vi tar ut [tex]x^3[/tex] og ser på [tex]J=(x^2y, xy^2, y^3)[/tex] og antar vi kan skrive [tex]x^3=fx^2y+gxy^2+hy^3[/tex], da har vi: [tex]x(x^2-fxy-gy^2)=hy^3[/tex]. Så [tex]y[/tex] deler [tex]x^2-fxy-gy^2[/tex]. Siden [tex]y[/tex] deler både [tex]fxy[/tex] og [tex]gy^2[/tex] må [tex]y[/tex] dele [tex]x^2[/tex], men dette er umulig. Vi kan derfor ikke fjerne [tex]x^3[/tex] fra [tex]I[/tex]. Tror det går an å bruke samme argument på de 3 andre

[CharlieEppes]

Nå er jeg ikke helt sikker, men kanskje [tex]I=(x,y)^3=(x^3,x^2y, xy^2, y^3)[/tex] er en god kandidat?

Så ikke så gale ut den der, men vet ikke helt hvordan jeg skal vise at den ikke kan genereres av færre element.

[Kake med tau]

Nå er jeg ikke helt sikker, men kanskje [tex]I=(x,y)^3=(x^3,x^2y, xy^2, y^3)[/tex] er en god kandidat?

Så ikke så gale ut den der, men vet ikke helt hvordan jeg skal vise at den ikke kan genereres av færre element.

Beklager, redigerte innlegget mens du skrev.

[CharlieEppes]

Virker logisk! ^^'