matematikk.net

Hvordan vet jeg om en variety er irredusibel?
Har lest noen definisjoner, men skjønte ikke helt hva de mente..
eks.
V = {(1,1),(1,-1)}

$V=\{(1,1),(1,-1)\}$

En varietet V er det samme som mengden av punkter som er nullpunkter for alle polynomer i en gitt familie av polynomer. Så du må vel her prøve å finne et polynom f(x,y) som har (1,1) som eneste nullpunkt, og et annet, g(x,y), som har (1,-1) som eneste nullpunkt.

Da vil du kunne skrive $V=Z(f)\cup Z(g)$ (Z(S)=zero locus)

Hint: Nullpunktene til $p(x,y)=x^2+y^2$ er...

Edit:

okei, siden oppgaven er gitt
7.a. LetJ=((x−1)2,(x+y)2(y−1))inR[x,y]. FindX=V(J). Find I(X). Find the radical radJ.
b. Is rad J a prime ideal? Is X an irreducible variety? Give reasons.

(a) har jeg forstått, men det er (b) delen med irreducible jeg ikke klarte helt.

CharlieEppes wrote:okei, siden oppgaven er gitt
7.a. LetJ=((x−1)2,(x+y)2(y−1))inR[x,y]. FindX=V(J). Find I(X). Find the radical radJ.
b. Is rad J a prime ideal? Is X an irreducible variety? Give reasons.

(a) har jeg forstått, men det er (b) delen med irreducible jeg ikke klarte helt.

Antar du mener $J=((x−1)^2,(x+y)^2(y−1))$?

I så fall er vel $X=\{(1,1),(1,-1)\}=V(((x-1)^2+(y-1)^2))\cup V(((x-1)^2+(y+1)^2))$, så X er redusibel.

edit

plutarco wrote: Antar du mener $J=((x−1)^2,(x+y)^2(y−1))$?

ja, glemte å formatere det på nytt ^^

plutarco wrote: I så fall er vel $X=\{(1,1),(1,-1)\}=V(((x-1)^2+(y-1)^2))\cup V(((x-1)^2+(y+1)^2))$, så X er redusibel.
edit

Hvordan kommer du frem til dette?
Edit:
Er det bare å finne $f(x,y),g(x,y)$slik at $V(f(x,y)) \cup V(g(x,y))$passer med punktene i $X \in k^2$ ?

CharlieEppes wrote:
Er det bare å finne $f(x,y),g(x,y)$slik at $V(f(x,y)) \cup V(g(x,y))$passer med punktene i $X \in k^2$ ?

Ja, stemmer. Jeg prøvde å skrive V som en union av de to punktene. Så prøvde jeg å finne et polynom f(x,y) som har (1,1) som eneste nullpunkt.Da vil jo varieteten V(f) bestå av akkurat dette punktet, (1,1). Men ser Reid insisterer på at J i V(J) skal være idealer, men da er det jo bare å bruke idealet generert av f, (f). Her vil fremdeles punktet (1,1) være det eneste punktet som er nullpunkt for alle polynomer i (f).

plutarco wrote:

CharlieEppes wrote:
Er det bare å finne $f(x,y),g(x,y)$slik at $V(f(x,y)) \cup V(g(x,y))$passer med punktene i $X \in k^2$ ?

Ja, stemmer. Jeg prøvde å skrive V som en union av de to punktene. Så prøvde jeg å finne et polynom f(x,y) som har (1,1) som eneste nullpunkt.Da vil jo varieteten V(f) bestå av akkurat dette punktet, (1,1). Men ser Reid insisterer på at J i V(J) skal være idealer, men da er det jo bare å bruke idealet generert av f, (f). Her vil fremdeles punktet (1,1) være det eneste punktet som er nullpunkt for alle polynomer i (f).

takk for oppklaringen, ble litt forvirret av måten det stod på i boken

Det kunne absolutt vært flere eksempler i den boka. Mange av ideene i dette faget er jo egentlig ganske enkle, men når stoffet er så pakket inn i kompakte og abstrakte teoremer, så er det klart det oppleves som vanskelig.