matematikk.net

Noen som gidder å dytte meg i riktig retning. Har kladda og prøvd en del. Men skriver ikke alt inn her.
Sjekk pdf-fila under.

b) Her kan du bruke "two-step subgroup test": https://en.wikipedia.org/wiki/Subgroup_test

Det holder altså å vise at $N_p$ er lukket under matrisemultiplikasjon (dvs. $x,y\in N_p \Rightarrow xy\in N_p$) og at den inverse av et element i $N_p$ også er med i $N_p$. Vi ser lett at $\begin{pmatrix} 1&b\\0&1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-b\\0&1 \end{pmatrix}$


c) Semidirekteprodukt er ekvivalent med at $G_p=N_pH_p$ (hvert element i $G_p$ kan skrives som produkt av et element i $N_p$ og et i $H_p$) der $N_p$ er normal og $N_p\cap H_p= e$ der $e$ er identiteten $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$.

[tex]G_p=\left \{ \begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a,b\in \mathbb{Z}_p \right \}[/tex], [tex]N_p=\left \{ \begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid x\in \mathbb{Z}_p \right \}[/tex], [tex]H_p=\left \{ \begin{pmatrix} y & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid y\in \mathbb{Z}_p^* \right \}[/tex]

For å vise at [tex]N_p[/tex] og [tex]H_p[/tex] er undergrupper av [tex]G_p[/tex], må vi vise:

• Begge er undermengder av [tex]G_p[/tex].
  
  Dette er greit, siden [tex]a=1, b=x[/tex] gir [tex]N_p[/tex], og [tex]a=y, b=0[/tex] gir [tex]H_p[/tex]
• Begge er lukket under matrisgangingen. Også greit:
  
  For [tex]N_p[/tex]: [tex]\begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & x'\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & x+x'\\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
  
  For [tex]H_p[/tex]: [tex]\begin{pmatrix} y & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y' & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y\cdot y' & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
• Begge har multiplikativ identitet, og inverser. Greit:
  
  For [tex]N_p[/tex]: identitetsmatrisen fungerer, og invers fås med [tex]-x[/tex] istedet for [tex]x[/tex]
  
  For [tex]H_p[/tex]: identitetsmatrsien fungerer også her, og invers fås med [tex]y^{-1}[/tex] istedet for [tex]y[/tex]

For å vise [tex]N_p \cong \mathbb{Z}_p[/tex], og [tex]H_p \cong \mathbb{Z}_p^*[/tex], prøv homomorfiene:

[tex]\phi: N_p\rightarrow \mathbb{Z}_p[/tex], slik at [tex]\begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mapsto x[/tex]

[tex]\psi: H_p\rightarrow \mathbb{Z}_p^*[/tex], slik at [tex]\begin{pmatrix} y & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mapsto y[/tex], og vis at kjernen er identiteten i begge, og at begge er surjektive.

Takker og bukker til begge to :=)