Forkurs tidligere eksamensoppgaver

Gjest · 04/03-2017 16:08

Hei, har fått en oblig og har svart på oppgave a og b, men når det kommer til oppgave c, så vet jeg absolutt ikke hva jeg skal gjøre, jeg har regnet ut normalvektoren ved å bruke ABxAC og dermed fått [18,18,24], så brukte jeg A(3,2,1) for (Xo,Yo,Zo), men jeg får ikke den likningen som står på oppgaven.

Regningen min blir som følgende :
18(x-3)+18(y-2)+24(z-1)=0
18x-54+18y-36+24z-24=0
18x+18y+24z-(-6)=0
18x+16y+24z+6=0

Oppgave d fikk jeg også løst ved å sette inn tallene inn på likningen fra oppgave c, men resten fikk jeg ikke til heller løst,ville satt pris om jeg kunne fått hjelp med oppgave c,e og f

04/03-2017 16:33

Gjest skrev:Hei, har fått en oblig og har svart på oppgave a og b, men når det kommer til oppgave c, så vet jeg absolutt ikke hva jeg skal gjøre, jeg har regnet ut normalvektoren ved å bruke ABxAC og dermed fått [18,18,24], så brukte jeg A(3,2,1) for (Xo,Yo,Zo), men jeg får ikke den likningen som står på oppgaven.

Regningen min blir som følgende :
18(x-3)+18(y-2)+24(z-1)=0
18x-54+18y-36+24z-24=0
18x+18y+24z-(-6)=0
18x+16y+24z+6=0

Oppgave d fikk jeg også løst ved å sette inn tallene inn på likningen fra oppgave c, men resten fikk jeg ikke til heller løst,ville satt pris om jeg kunne fått hjelp med oppgave c,e og f

$\vec{AB} = \left(3,5,-4\right)$ og $\vec{AC} = \left(-3,3,0\right)$, så $$\vec{AB}\wedge\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 5 & -4 \\ -3 & 3 & 0\end{vmatrix} = \left(12, 12, 9 + 15\right) = \left(12, 12, 24\right).$$

Vi bruker så $\vec{n} = \left(1,1,2\right) = \frac{1}{12}\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ som normalvektor, $A = (3,2,1)$ som punkt og får at alle punkter $X = (x,y,z)$ i planet tilfredsstiller likningen
$\displaystyle\begin{align*} \alpha:\text{ } & \vec{n}\cdot\vec{AX} = 0 \\
& \left(1,1,2\right)\cdot\left(x-3,y-2,z-1\right) = 0 \\
& x - 3 + y - 2 + 2\left(z-1\right) = 0 \\
& x + y + 2z - 7 = 0\end{align*}$

04/03-2017 17:59

Beklager, så først nå at du også ønsket hjelp til (e) og (f).

(e) Skriv $E = \left(e_1,e_2,e_3\right).$ Vi er gitt at $\vec{DE} = \vec{v}$, så $$ \left[e_1 - 2,e_2 - 5, e_3\right] = \left[1,1,2\right]$$ $$\therefore e_1 = 1 + 2 = 3, e_2 = 1 + 5 = 6\text{ og }e_3=2$$ $$\therefore E = \left(3,6,2\right).$$

Linjen gjennom $D$ og $E$ krysser punktet $D = \left(2,5,0\right)$ og har retningsvektor $\vec{v} = \left[1,1,2\right]$, så vi får parameterfremstillingen $$\begin{cases} x(t) = 2 + t \\ y(t) = 5 + t \\ z(t) = 2t\end{cases},\text{ } t \in \mathbb{R}.$$

(f) Når $t = 2$ får vi at $\left(x(2),y(2),z(2)\right) = \left(4,7,4\right) = T$, hvilket viser at $T$ ligger på linjen.
Vi har to metoder for å finne høyden $h$ av pyramiden. Ettersom $D$ ligger i planet, $\vec{v} = \left[1,1,2\right]$ er planets normalvektor og $T$ ligger på denne linjen med retningsvektor $\vec{v}$ gjennom punktet $D$, har vi at høyden til pyramiden er lik avstanden mellom $D$ og $T$. Ettersom $\vec{DT} = \left[4-2,7-5,4-0\right] = \left[2,2,4\right]$ får vi at $$h = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4\left(1 + 1 + 4\right)} = 2\sqrt{1 + 1 + 4} = 2\sqrt{6}.$$

Eventuelt kan vi ta i bruk formelen for avstand mellom punkt og plan:
Høyden av pyramiden er simpelthen avstanden fra $T$ til planet $\alpha$, så $$h = \frac{|4 + 7 + 2\cdot 4 - 7|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{6}.$$

Gjest · 04/03-2017 18:46

tusen takk for svaret, setter pris på at du brukte tid på å forklare fremgangsmåten, speiselt på oppgave f

May the God give you some free cookies <3