matematikk.net

Har en oppgave, a particle moves around the circle x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 25 at constant speed, making one revolution in 2s. Find its acceleration at (3,4).

Jeg tenkte først at r(t) = [5cost, 5sint], deriverte, men det ble etterhvert feil.

Mål i meter ??
finn banehastigheten. = O / 2s = 2*pi*5m/2s = 5pi m/s

a = v*v/r retningen alltid mot origo

Fasiten sier: a = -3[pi][/pi][sup]2[/sup]i - 4[pi][/pi][sup]2[/sup]j (i og j angir retning)

Jeg har dessverre ikke blitt noe klokere over natta

Anta at partikkelen befinner seg i punktet (5,0) ved tiden t=0 og beveger seg mot klokka. Siden partikkelen har en omdreiningshastighet på 2 sekunder, vil partikkelen etter t sekunder befinne seg i punktet P = ( 5cos([pi][/pi]t), 5sin([pi][/pi]t) ). Partikkelens fart er konstant lik 10[pi][/pi]/2 = 5[pi][/pi]. Videre vet vi at partikkelens fartsvektor PQ=v(t) står vinkelrett på posisjonsvektoren OP, der O er origo. Summa summarum har vi altså at lengden av v(t) er 5[pi][/pi] og at skalarproduktet av vektorene OP og v(t) er lik 0. Tar vi hensyn til omløpsretningen, må altså

v(t) = -5[pi][/pi]sin([pi][/pi]t) i + 5[pi][/pi]cos([pi][/pi]t) j (Husk at skalarproduktet [a,b]*[-b,a]=0).

Dermed blir partikkelens akselerasjonsvektor

(1) a(t) = v'(t) = -5[pi][/pi][sup]2[/sup]cos([pi][/pi]t) i - 5[pi][/pi][sup]2[/sup]sin([pi][/pi]t) j.

Så dersom P=(3,4), dvs. at cos([pi][/pi]t)=3/5 og sin([pi][/pi]t)=4/5, får vi vha. av (1) at

a(t) = -3[pi][/pi][sup]2[/sup]i - 4[pi][/pi][sup]2[/sup]j.

Åiåi, takk skal du ha. Den der hadde jeg nok ikke klart selv.
Men ser ikke helt hvor du bruker skalarproduktet [a,b]*[-b,a]=0