matematikk.net

Hei!
Kan noen hjelpe meg med denne?

Fem venner er på hyttetur. På hytta er det et soverom med plass til to personer og et annet med plass til tre. På hvor mange måter kan vennene fordele seg på de to soverommene?

Løsning:
(5 over 3) = (5*4*3)/(3*2*1)= 60/6=10
Vennene kan fordele seg på 10 måter.

OK, kan noen forklare meg hvor tretallet i nevneren kommer fra?

[tex]\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}[/tex] gir [tex]\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}[/tex]
1,2 og 3 kan forkortes, dermed har vi [tex]\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10[/tex]

hco96 wrote:[tex]\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}[/tex] gir [tex]\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}[/tex]
1,2 og 3 kan forkortes, dermed har vi [tex]\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10[/tex]

Tusen takk! Men kan du forklare med ord hvorfor det er slik?

Nei, men moderator Aleks855 kan: http://udl.no/p/r1-matematikk/kapittel-3-sannsynlighet

hco96 wrote:Nei, men moderator Aleks855 kan: http://udl.no/p/r1-matematikk/kapittel-3-sannsynlighet

Takk! Forstår hva han sier, men forstår fremdeles ikke hvor 3-tallet i nevneren er fra... Det er jo snakk om to rom...

Ingen?
Forstår ikke at "3 fakultet" er "r fakultet" akkurat her. Får til "alle" andre oppgaver.

Gjest wrote:Ingen?
Forstår ikke at "3 fakultet" er "r fakultet" akkurat her. Får til "alle" andre oppgaver.

Binomialkoeffisienten sier da ikke noe om hvor mange rom som er med i beregninger. Det den sier er sannsynligheten for å trekke r ting fra n ting. Det er alltid viktig å vite hva formler sier, og ikke bare hvordan man putter inn tall.

Egentlig har du alltid to rom, det er bare at du som regel ikke tenker over det.
Tenk på det som "et soverom og et annet rom". Hvis vi tar det klassiske eksempelet med å trekke kuler ut av en pose, og vi modifiserer det litt til at alle kulene starter på bordet utenfor posen, så kan du tenke på posen som "soverommet" vårt, og det inni posen som det "andre rommet". Hvor mange ulike måter kan du legge, f.eks. 3, kuler fra bordet inn i posen? Det er nøyaktig like mange måter som du kan trekke 3 kuler ut fra posen og det samme som hvor mange måter du kan la være å legge inn n-3 kuler i posen. Det handler egentlig bare om hvilket referansepunkt man har, hvor velger du fra og hvor sender du til?

Dette kan man også se rent algebraisk.
${n \choose r} = {n \choose (n-r)}$
Svaret blir det samme om du bruker r=2 eller r=3, altså om du velger hvem som skal ligge i det største eller minste soverommet.

Forresten bra at du spør da, og viser interesse for å lære utover det å bare spørre om løsningsforslag. Sånt er alltid koselig.

Gjest wrote:

Gjest wrote:Ingen?
Forstår ikke at "3 fakultet" er "r fakultet" akkurat her. Får til "alle" andre oppgaver.

Binomialkoeffisienten sier da ikke noe om hvor mange rom som er med i beregninger. Det den sier er sannsynligheten for å trekke r ting fra n ting. Det er alltid viktig å vite hva formler sier, og ikke bare hvordan man putter inn tall.

Egentlig har du alltid to rom, det er bare at du som regel ikke tenker over det.
Tenk på det som "et soverom og et annet rom". Hvis vi tar det klassiske eksempelet med å trekke kuler ut av en pose, og vi modifiserer det litt til at alle kulene starter på bordet utenfor posen, så kan du tenke på posen som "soverommet" vårt, og det inni posen som det "andre rommet". Hvor mange ulike måter kan du legge, f.eks. 3, kuler fra bordet inn i posen? Det er nøyaktig like mange måter som du kan trekke 3 kuler ut fra posen og det samme som hvor mange måter du kan la være å legge inn n-3 kuler i posen. Det handler egenm hvilket referansepunkt man har, hvor velger du fra og hvor sender du til?

Dette kan man også se rent algebraisk.
${n \choose r} = {n \choose (n-r)}$
Svaret blir det samme om du bruker r=2 eller r=3, altså om du velger hvem som skal ligge i det største eller minste soverommet.

Forresten bra at du spør da, og viser interesse for å lære utover det å bare spørre om løsningsforslag. Sånt er alltid koselig.

Aha! Ja, altså at jeg kan se på det som hvor mange som blir "trukket" til å sove på det ene rommet?

stemmer

Gjest wrote:Hei!
Kan noen hjelpe meg med denne?

Fem venner er på hyttetur. På hytta er det et soverom med plass til to personer og et annet med plass til tre. På hvor mange måter kan vennene fordele seg på de to soverommene?

Løsning:
(5 over 3) = (5*4*3)/(3*2*1)= 60/6=10
Vennene kan fordele seg på 10 måter.

OK, kan noen forklare meg hvor tretallet i nevneren kommer fra?

To måter: (5 over 3)*(2 over 2) eller (5 over 2)*(3 over 3)

fasiten brukte den første, og (2 over 2) er jo bare 1. Vet ikke om du har lest kapittelet i boka, men poenget er at du starter med 5 personer som først skal fordeles på et av rommene, og når det er gjort skal du fordele resten på det siste rommet. Den første måten betyr med andre ord at du har fem personer og fordeler de på tre plasser. Da har du 2 personer igjen som kan fordeles på det siste rommet med kun to plasser. Den andre måten starter med det andre rommet, se om du skjønner det.