matematikk.net

Har en helt grunnleggende oppgave om parametrisering og stigningstall jeg trenger litt hjelp med:

Find the coordinates of the points at which the given parametric curve has
a) horisontal tangent, and
b) a vertical tangent.

x = t[sup]2[/sup] + 1
y = 2t - 4

a) dy/dx = (t[sup]2[/sup] + 1)' / (2t - 4)' = 2t/2 = t.

Vi observerer at dy/dx=0 når t=0. Så kurven har kun en horisontal tangent, og den har kurven i punktet (-4,1).

b) I.o.m. at dx/dy=1/t<>0 for alle reelle verdier av t, har kurven ingen vertikale tangenter.

Setter pris på svaret ditt Solar Plexsus, men jeg skjønner ikke helt hvorfor man tar dy/dx. Samt hvorfor vi kan konkludere med at den ikke har noen vertikale tangenter.

Hvorfor tar man ikke dy/dt og dx/dt?

Dette er vel strengt tatt ikke helt riktig. Solar har regnet ut dx/dy, men det er jo ikke feil dette heller. Du må da bytte ut "vertikal" med "horisontal". Eller så kan man bare se på differensialene dx og dy.
Vi ser
dx = 2tdt
dy = 2dt

Vi har en vertikal tangent når kurven ikke endrer seg i x-retning, dvs der dx=0. Så vi har en vertikal tangent når t=0.
Vi har en horisontal tangent når kurven ikke endrer seg i y-retning, dvs der dy=0. Vi ser dette aldri kan skje, så det finnes ingen horisontal tangent til denne kurven.

OK, det var egentlig ganske greit å se på når dy/dx=0 eller dx/dy=0, og finne t-verrdi. Men hvorfor blir det slik?

Den glatte kurven gitt ved parameterframstillingen x=f(t) og y=g(t) (glatt betyr at de deriverte f'(t) og g'(t) er kontinuerlige og aldri lik 0 samtidig), så er den deriverte av denne funksjonen gitt ved formelen

(1) dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = g'(t)/f'(t).

Dette er en klassisk setning innen analysen og kan bevises vha. av kjerneregelen.

Når det gjelder bruken av dx/dy som hjelpemiddel til å finne eventuelle vertikale tangenter, er denne helt legitim. Dette kan begrunnes med følgende observasjon: En vertikal tangent, dvs. en tangent parallell med y-aksen, blir til en horisontal tangent dersom man betrakter y-aksen som horisontalaksen og x-aksen som vertikalaksen. M.a.o. er dx/dy=0 i et punkt der kurven har en vertikal tangent.

Av formel (1) følger for å finne eventuelle vertikale og horisontale tangenter, holder det å løse likningene f'(t)=0 og g'(t)=0 respektive.

Akkurat, takk for den fine forklaringen Solar Plexsus.