matematikk.net

Hei! Skal ha tentamen i morgen, men læreren vår gikk gjennom sannsynlighetsregning på rundt 10 minutter, og skjønte ikke helt hvordan man regner det ut enda

Vi har en gruppe på 8 personer med 5 menn og 3 kvinner.
Vi skal trekke ut tre personer til en komite.
a) Hva er sannsynligheten for at vi trekker ut to menn først og så en kvinne?
b) Hva er sannsynligheten for at akkurat en av de tre er kvinne?
c) Hva er sannsynligheten for at det blir med minst en kvinne i komiteen?

Lurte på om noen kunne vise hvordan man kan regne ut dette? Har prøvd, men får bare det ikke til...

hjelp elev wrote:Hei! Skal ha tentamen i morgen, men læreren vår gikk gjennom sannsynlighetsregning på rundt 10 minutter, og skjønte ikke helt hvordan man regner det ut enda

Vi har en gruppe på 8 personer med 5 menn og 3 kvinner.
Vi skal trekke ut tre personer til en komite.
a) Hva er sannsynligheten for at vi trekker ut to menn først og så en kvinne?
b) Hva er sannsynligheten for at akkurat en av de tre er kvinne?
c) Hva er sannsynligheten for at det blir med minst en kvinne i komiteen?

Lurte på om noen kunne vise hvordan man kan regne ut dette? Har prøvd, men får bare det ikke til...

a) $$\begin{align*} & \mathbb{P}\left(\text{to menn først, så en kvinne}\right) \\ = & \mathbb{P}\left(\text{første trukket er mann}\right)\cdot\mathbb{P}\left(\text{annen trukket er mann}|\text{første trukket er mann}\right)\cdot\mathbb{P}\left(\text{tredje trukket er kvinne}|\text{de to første trukne er menn}\right) \\ = & \frac58\cdot\frac47\cdot\frac36 \\ = & \frac{5}{2\cdot7\cdot 2} \\ = & \frac{5}{28}.\end{align*}$$

b) Vi har en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Dermed får vi at $$\mathbb{P}\left(\text{akkurat én kvinne trekkes}\right) = \frac{{3 \choose 1}{5 \choose 2}}{{8 \choose 3}} = \frac{3\cdot 10}{56} = \frac{15}{28}.$$

Alternativt (hvis du ikke har lært om hypergeometriske sannsynlighetsfordelinger): $$\begin{align*}& \mathbb{P}\left(\text{akkurat én kvinne trekkes}\right) \\ = & \mathbb{P}\left(\text{vi trekker: kvinne, mann, mann}\right) + \mathbb{P}\left(\text{vi trekker: mann, kvinne, mann}\right) + \mathbb{P}\left(\text{vi trekker: mann, mann, kvinne}\right) \\ = & \frac38\cdot\frac57\cdot\frac46 + \frac58\cdot\frac37\cdot\frac46 + \frac58\cdot\frac47\cdot\frac36 \\ = & \frac{5 + 5 + 5}{28} \\ = & \frac{15}{28}.\end{align*}$$

c) $$\mathbb{P}\left(\text{minst én kvinne i komiteen}\right) = 1 - \mathbb{P}\left(\text{kun menn i komiteen}\right) = 1 - \frac58\cdot\frac47\cdot\frac36 = 1 - \frac{5}{28} = \frac{28 - 5}{28} = \frac{23}{28}.$$

DennisChristensen wrote:

hjelp elev wrote:Hei! Skal ha tentamen i morgen, men læreren vår gikk gjennom sannsynlighetsregning på rundt 10 minutter, og skjønte ikke helt hvordan man regner det ut enda

Vi har en gruppe på 8 personer med 5 menn og 3 kvinner.
Vi skal trekke ut tre personer til en komite.
a) Hva er sannsynligheten for at vi trekker ut to menn først og så en kvinne?
b) Hva er sannsynligheten for at akkurat en av de tre er kvinne?
c) Hva er sannsynligheten for at det blir med minst en kvinne i komiteen?

Lurte på om noen kunne vise hvordan man kan regne ut dette? Har prøvd, men får bare det ikke til...

a) $$\begin{align*} & \mathbb{P}\left(\text{to menn først, så en kvinne}\right) \\ = & \mathbb{P}\left(\text{første trukket er mann}\right)\cdot\mathbb{P}\left(\text{annen trukket er mann}|\text{første trukket er mann}\right)\cdot\mathbb{P}\left(\text{tredje trukket er kvinne}|\text{de to første trukne er menn}\right) \\ = & \frac58\cdot\frac47\cdot\frac36 \\ = & \frac{5}{2\cdot7\cdot 2} \\ = & \frac{5}{28}.\end{align*}$$

b) Vi har en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Dermed får vi at $$\mathbb{P}\left(\text{akkurat én kvinne trekkes}\right) = \frac{{3 \choose 1}{5 \choose 2}}{{8 \choose 3}} = \frac{3\cdot 10}{56} = \frac{15}{28}.$$

Alternativt (hvis du ikke har lært om hypergeometriske sannsynlighetsfordelinger): $$\begin{align*}& \mathbb{P}\left(\text{akkurat én kvinne trekkes}\right) \\ = & \mathbb{P}\left(\text{vi trekker: kvinne, mann, mann}\right) + \mathbb{P}\left(\text{vi trekker: mann, kvinne, mann}\right) + \mathbb{P}\left(\text{vi trekker: mann, mann, kvinne}\right) \\ = & \frac38\cdot\frac57\cdot\frac46 + \frac58\cdot\frac37\cdot\frac46 + \frac58\cdot\frac47\cdot\frac36 \\ = & \frac{5 + 5 + 5}{28} \\ = & \frac{15}{28}.\end{align*}$$

c) $$\mathbb{P}\left(\text{minst én kvinne i komiteen}\right) = 1 - \mathbb{P}\left(\text{kun menn i komiteen}\right) = 1 - \frac58\cdot\frac47\cdot\frac36 = 1 - \frac{5}{28} = \frac{28 - 5}{28} = \frac{23}{28}.$$

TUUUUSEN TUUUSEN TAKK!! Du er en livredder <3