matematikk.net

Jeg øver på eksamen, så dette er oppgave 2 fra del 1, eksamen R1 H2016.

Oppgaven: Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter til grafen [tex]f(x) = (x+1)^{2}(x-2)[/tex]

Jeg tenkte å følge rådet gitt her (http://www.matematikk.net/matteprat/vie ... hp?p=47463), men lurer på om dette er den lureste måten? Føler at det er ganske seigt.

Først løser jeg opp [tex](x+1)^{2}(x-2) = x^{3}+3x-2[/tex], også finner jeg både [tex]f'(x) = 3x^{2}-3[/tex] og [tex]f''(x) = 6x[/tex].

Herfra så setter jeg [tex]f'(x)[/tex] inn i [tex]ABC[/tex]-formelen og finner [tex]x = 1 \vee x = -1[/tex]. Men, hvordan fullfører jeg etter det?

For hvis jeg f.eks. setter [tex]f''(1) = 6[/tex], er jo dette ikke et punkt?

Bananiel wrote: Herfra så setter jeg [tex]f'(x)[/tex] inn i [tex]ABC[/tex]-formelen og finner [tex]x = 1 \vee x = -1[/tex]. Men, hvordan fullfører jeg etter det?

Da har du x-verdiene til ekstremalpunktene. Altså har du to punkter $(1, f(1)), \ \ (-1, f(-1))$. Regn ut $f(1), f(-1)$ for å fullføre.

Spørsmålet deretter er om du klarer å finne ut hva som er toppunkt og hva som er bunnpunkt. Det er her vi bruker den andrederiverte. Hvis den andrederiverte er negativ i punktet, så er det en "sur-munn" som betyr toppunkt. Hvis positiv, "smile-munn", bunnpunkt.

Aleks855 wrote:Spørsmålet deretter er om du klarer å finne ut hva som er toppunkt og hva som er bunnpunkt. Det er her vi bruker den andrederiverte. Hvis den andrederiverte er negativ i punktet, så er det en "sur-munn" som betyr toppunkt. Hvis positiv, "smile-munn", bunnpunkt.

Aha, denne skjønner jeg. For [tex](1,f(1))[/tex] er [tex]positiv[/tex] og [tex](-1,f(-1))[/tex] er [tex]negativ[/tex].

Aleks855 wrote: Da har du x-verdiene til ekstremalpunktene. Altså har du to punkter $(1, f(1)), \ \ (-1, f(-1))$. Regn ut $f(1), f(-1)$ for å fullføre.

Så hvis jeg tar mitt [tex]negative[/tex] punkt, så blir det jo fortsatt feil i mitt oppsett. Bruker [tex]f(1) = 1^{3}+3\cdot 1-2 = 2[/tex]. Her får jeg da punkt [tex](1,2)[/tex] og ikke det riktige som er [tex](1,-4)[/tex].

Bananiel wrote:

Aleks855 wrote:Spørsmålet deretter er om du klarer å finne ut hva som er toppunkt og hva som er bunnpunkt. Det er her vi bruker den andrederiverte. Hvis den andrederiverte er negativ i punktet, så er det en "sur-munn" som betyr toppunkt. Hvis positiv, "smile-munn", bunnpunkt.

Aha, denne skjønner jeg. For [tex](1,f(1))[/tex] er [tex]positiv[/tex] og [tex](-1,f(-1))[/tex] er [tex]negativ[/tex].

Aleks855 wrote: Da har du x-verdiene til ekstremalpunktene. Altså har du to punkter $(1, f(1)), \ \ (-1, f(-1))$. Regn ut $f(1), f(-1)$ for å fullføre.

Så hvis jeg tar mitt [tex]negative[/tex] punkt, så blir det jo fortsatt feil i mitt oppsett. Bruker [tex]f(1) = 1^{3}+3\cdot 1-2 = 2[/tex]. Her får jeg da punkt [tex](1,2)[/tex] og ikke det riktige som er [tex](1,-4)[/tex].

Et punkt er ikke positivt eller negativt. Du må undersøke om henholdsvis $f''(-1)$ og $f''(1)$ er positive eller negative. Ettersom $f''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$ er $(-1,f(-1))$ et toppunkt, og ettersom $f''(1) = 6\cdot 1 = 6 > 0$ er $(1,f(1))$ et bunnpunkt.

For å fullføre regner vi ut $f(-1)$ og $f(1)$: $$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0,$$ $$f(1) = 1^3 - 3\cdot 1 - 2 = 1 - 3 - 2 = -4. \text{ }\text{(du hadde en fortegnsfeil i utregningen din her)}$$

Dermed konkluderer vi med at $(-1,0)$ er et toppunkt og $(1,-4)$ er et bunnpunkt.

Bananiel wrote:Først løser jeg opp [tex](x+1)^{2}(x-2) = x^{3}+3x-2[/tex]

Du har en liten slurvis her som skaper problemene. Hvis du retter opp den så faller resten på plass tror jeg

DennisChristensen wrote:Et punkt er ikke positivt eller negativt.

Takk!

DennisChristensen wrote: For å fullføre regner vi ut $f(-1)$ og $f(1)$: $$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0,$$ $$f(1) = 1^3 - 3\cdot 1 - 2 = 1 - 3 - 2 = -4. \text{ }\text{(du hadde en fortegnsfeil i utregningen din her)}$$

Så godt å se at det bare var et fortegnsfeil her. Ser alt falle på plass når du påpekte det hele nå.

Aleks855 wrote:

Bananiel wrote:Først løser jeg opp [tex](x+1)^{2}(x-2) = x^{3}+3x-2[/tex]

Du har en liten slurvis her som skaper problemene. Hvis du retter opp den så faller resten på plass tror jeg