matematikk.net

Skal finne topp og bunnpunkt av denne funksjonen

f(x)=(lnx)[sup]x[/sup] - 3lnx

Jeg deriverte denne funksjonen og kom fram til

f'(x)=3(lnx)[sup]2[/sup]-3/x

Men når jeg løser telleren lik null så får jeg ikke riktig topp og bunnpunkt, jeg har altså derivert feil. Noen som kan hjelpe meg med denne?[/sub]

Når jeg bruker kjerneregelen og regelen (a^x)'=ln(a)*a^x, får jeg:

f'(x)=ln(ln(x))*(lnx)^x*1/x-3/x

=[ln(ln(x)*(lnx)^x-3]/x

Signaturen Andrina har derivert (lnx)[sup]x[/sup] galt. Dette er ikke en funksjon på formen a[sup]x[/sup] der a er en positiv konstant. Trikset er er omformingen

(lnx)[sup]x[/sup] = e^(ln((lnx)[sup]x[/sup]) = e^(x ln(lnx)).

La u=x ln(lnx). Dette gir

u' = (x)' ln(lnx) + x [ln(lnx)]'.

Ved å sette v=lnx får vi vha. av kjerneregelen at

[ln(lnx)]' = v' (lnv)' = (1/x) (1/v) = 1/(x lnx).

Ergo blir

u' = ln(lnx) + (x/(x lnx)) = ln(lnx) + (1/lnx).

Dermed følger det av kjerneregelen at

[(lnx)[sup]x[/sup]]' = u' (e[sup]u[/sup])' = u' e[sup]u[/sup] = [ln(lnx) + (1/lnx)] (lnx)[sup]x[/sup].