matematikk.net

Hei, læreren vår hadde laget en matteoppgave som jeg sliter med å få til.

I ei eske med 50 kuler er det 20 røde kuler. Vi trekker tilfeldig 10 kuler og lar x være talet røde kuler blant de 10.

Finn P(X=4| X ≥ 3) når vi trekker uten tilbakelegging.

Jeg tolket oppgaven feil. Se heller på svar under.

Opprinnelig svar;

[+] Skjult tekst

Jeg går ut ifra at oppgaven spør om sannsynligheten i intervallet [tex]X = [3, 4][/tex]. Noen må rette meg hvis jeg har misforstått her.

Uansett, forsøket gjøres uten tilbakelegging, og vi har derav et hypergeometrisk forsøk. Når vi sier at vi lar X være tallet røde kuler blant de 10, betyr det at når vi bruker notasjonen [tex]P(X=4| X ≥ 3)[/tex], spør vi om sannsynligheten for at vi får minst 3 men ikke høyere enn 4 røde kuler.

Da blir [tex]P(X=4 | X ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4)[/tex]

Jeg har vedlagt et løsningsforslag i spoileren.

[+] Skjult tekst

[tex]P(X=4 | X ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4)[/tex]

Regner da først ut [tex]P(X=3)[/tex]

[tex]P(X=3) = \frac{\binom{20}{3} * \binom{30}{7}}{\binom{50}{10}} = 0.23[/tex]

Deretter regner vi ut [tex]P(X=4)[/tex]

[tex]P(X=3) = \frac{\binom{20}{4} * \binom{30}{6}}{\binom{50}{10}} = 0.28[/tex]

Da får vi at

[tex]P(X=4 | X ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4) = 0.23 + 0.28 = 0.51 = 51 \%[/tex]

Vi kan også gjøre dette i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.

mattemarkus wrote:Jeg går ut ifra at oppgaven spør om sannsynligheten i intervallet [tex]X = [3, 4][/tex]. Noen må rette meg hvis jeg har misforstått her.

Feil tolkning av oppgaven. $\mathbb{P}(X = 4|X\geq 3)$ er sannsynligheten for at $X=4$, gitt at $X\geq 3$. Derfor får du feil svar.

Løsningsforslag:

Bayes' setning sier: $$\mathbb{P}(X = 4|X\geq 3) = \frac{\mathbb{P}(X\geq 3 | X=4)\mathbb{P}(X=4)}{\mathbb{P}(X\geq 3)}.$$

Nå, $\mathbb{P}(X\geq 3|X=4) = 1$. For å finne de resterende uttrykkene bruker vi hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling:
$$\mathbb{P}(X=4) = \frac{{20\choose 4}{30\choose 6}}{{50\choose 10}} = \frac{82195425}{293493662}.$$
$$\mathbb{P}(X\geq 3) = 1 - \mathbb{P}(X=0) - \mathbb{P}(X=1) - \mathbb{P}(X=2) = 1 - \frac{{30\choose 10}}{{50\choose 10}} - \frac{{20\choose 1}{30\choose 9}}{{50\choose 10}} - \frac{{20\choose 2}{30\choose 8}}{{50\choose 10}} = \frac{76904647}{89324158}$$

Dermed blir $\mathbb{P}(X=4|X\geq 3) \approx 0,3253.$

DennisChristensen wrote:

mattemarkus wrote:Jeg går ut ifra at oppgaven spør om sannsynligheten i intervallet [tex]X = [3, 4][/tex]. Noen må rette meg hvis jeg har misforstått her.

Feil tolkning av oppgaven. $\mathbb{P}(X = 4|X\geq 3)$ er sannsynligheten for at $X=4$, gitt at $X\geq 3$. Derfor får du feil svar.

Løsningsforslag:

Bayes' setning sier: $$\mathbb{P}(X = 4|X\geq 3) = \frac{\mathbb{P}(X\geq 3 | X=4)\mathbb{P}(X=4)}{\mathbb{P}(X\geq 3)}.$$

Nå, $\mathbb{P}(X\geq 3|X=4) = 1$. For å finne de resterende uttrykkene bruker vi hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling:
$$\mathbb{P}(X=4) = \frac{{20\choose 4}{30\choose 6}}{{50\choose 10}} = \frac{82195425}{293493662}.$$
$$\mathbb{P}(X\geq 3) = 1 - \mathbb{P}(X=0) - \mathbb{P}(X=1) - \mathbb{P}(X=2) = 1 - \frac{{30\choose 10}}{{50\choose 10}} - \frac{{20\choose 1}{30\choose 9}}{{50\choose 10}} - \frac{{20\choose 2}{30\choose 8}}{{50\choose 10}} = \frac{76904647}{89324158}$$

Dermed blir $\mathbb{P}(X=4|X\geq 3) \approx 0,3253.$

Takk for at du rettet meg opp. Har endret svaret mitt over. Gitt tolkningen min har jeg gjort det rett da? Altså intervallet [tex][3,4][/tex]? Det er så klart ikke dette oppgaven spør om, men jeg lufer på om jeg har gjort det rett utifra min tolkning?