matematikk.net

Hvordan bevise at [pi][/pi] faktisk er en konstant?

pi er omkrets/2*radius. Begge er konstanter, ergo pi er en konstant.

Joa, men da må du bevise at omkrets/radius er konstant (at den ikke forandrer seg med sirkelens størrelse).

Beviset for at forholdet mellom en sirkels omkrets og diameter er konstant, er langtfra trivielt. Det bygger på følgende to geometriske setninger:

(1) I to sirkler med diametre d[sub]1[/sub] og d[sub]2[/sub] og areal A[sub]1[/sub] og A[sub]2[/sub], er

A[sub]1[/sub][sup]2[/sup]/d[sub]1[/sub] = A[sub]2[/sub][sup]2[/sup]/d[sub]2[/sub].

(2) I en sirkel med radius r, omkrets O og areal A, er

A/r[sup]2[/sup] = O/d

der d=2r er sirkelens diameter. Ved å kombinere disse to setningene, får vi at forholdet O/d er konstant. Denne konstanten kalles [pi][/pi].

For de som er interessert, er bevis for setningene (1) og (2) å finne på sidene 70-74 i boka "Fra matematikkens spennende verden" (ISBN: 82-519-1141-9).

Candela skreiv: "pi er omkrets/2*radius. Begge er konstanter, ergo pi er en konstant." Korkje omkrinsen eller radien er konstantar, som allereie påpeikt.

Bevisforslag for at O/d er konstant: La ein sirkel ha radius r og omkrins O. La N vera eit heiltal større enn 4 (talet 4 er uessensielt; me er uansett først og fremst interesserte i høge N) og del sirkelen inn i sektorar med vinklar på 360/N grader; alle sektorane er kongruente. Me ser på ein vilkårleg sektor. Arealet til denne er a, og ved å tilnærma med ein ytre og ein indre trekant, så får me r^2 * sin (360/N) < 2a < r^2 * tan (360/N). For arealet A til sirkelen gjeld då Nr^2 * sin (360/N) < 2A < r^2 * N * sin (360/N)/cos(360/N) og dermed er N * sin (360/N) < 2A/r^2 < N * sin (360/N)/cos(360/N). Når N går mot uendeleg, så går cos(360/N) mot 1 og dermed går venstre- og høgresida mot det same talet, dvs. at 2A/r^2 er konstant. Ved å koma med ein tilsvarande tilnærmingsprosedyre får me også O*r/2 = A, dvs. at A/r^2 = O/2r = O/d er konstant. Denne konstanten kallar me [pi][/pi]. (Detaljar, den andre tilnærmingsprosedyren og meir rigorøs handtering av enkelte delar er ikkje med her.)

Signaturen Gjest sitt forslag til bevis er et sirkelbevis, (som ifølge nettstedet www.Caplex.no er et bevis som ikke beviser noe som helst, ettersom det som skal bevises, allerede er forutsatt i premissene). I dette tilfellet er sinusfunksjonen brukt. Denne baserer seg på definisjonen av absolutt vinkelmål: I en sirkel der to radier av lengde r spenner over en sirkelbue av lengde s, er sentralvinkelens måltall definert som s/r. Så i to halvsirkler med radier r[sub]1[/sub] og r[sub]2[/sub] og omkretser O[sub]1[/sub] og O[sub]2[/sub], har sentralvinklene det absolutte vinkelmålet O[sub]1[/sub]/(2r[sub]1[/sub]) og O[sub]2[/sub]/(2r[sub]2[/sub]) respektive. For at definisjonen av absolutt vinkelmål (og dermed også sinus) skal være konsistent, må

O[sub]1[/sub]/d[sub]1[/sub] = O[sub]2[/sub]/d[sub]2[/sub]

der d[sub]1[/sub]=2r[sub]1[/sub] og d[sub]2[/sub]=2r[sub]2[/sub].

Du kan basera sinus- og tangens-funksjonane på tilfellet formlike trekantar.

Poenget er at man ikke kan definere de trigonometriske funksjonene uten først å ha definert hva måltallet til en vinkel er. Dette er jo åpenbart ettersom argumentet til en trigonometrisk funksjon nettopp er måltallet til en vinkel.