matematikk.net

Trenger hjelp på disse to, gjerne vis til teorem hvis det kan være til hjelp for meg.

1) Determine the basis for the following subspace in R[sup]3[/sup]: all vectors on the form (a,b,c), where b=a+c.

2)The vector space of all diagonal nxn matrices has dimension ____ ?

1) Alle vektorer i dette underrommet kan uttrykkes på formen

(a,a+c,c) = (a,a,0) + (0,c,c) = a(1,1,0) + c(0,1,1).

M.a.o. utspenner vektorene (1,1,0) og (0,1,1) underrommet. Disse to vektorene er også lineært uavhengige (i.o.m. at k[sub]1[/sub](1,1,0) + k[sub]2[/sub](0,1,1) = (0,0,0) medfører at k[sub]1[/sub]=k[sub]2[/sub]=0). Dette betyr at vektorene (1,1,0) og (0,1,1) utgjør en basis for dette underrommet.

2) I en nxn diagonalmatrise D[sub]n[/sub] er det(D[sub]n[/sub]) = 1[sup]n[/sup] = 1 <> 0. Følgelig har rad/kolonnerommet til D[sub]n[/sub] dimensjon n.

Takk skal du ha, fint.
Men hvorfor er det slik at "den trivielle" løsningen k[sub]1[/sub]=k[sub]2[/sub]=0 kan være en løsning når man sjekker om vektorer er lineært uavhengige?

For å avgjøre om en mengde av n vektorer v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]n[/sub] er lineært uavhengige, må man løse likningssystemet

(1) c[sub]1[/sub]v[sub]1[/sub] + c[sub]2[/sub]v[sub]2[/sub] + ... + c[sub]n[/sub]v[sub]n[/sub] = 0.

Ved innsetting ser vi at c[sub]1[/sub] = c[sub]2[/sub] =... = c[sub]n[/sub] = 0 alltid er en løsning av (1). Poenget er at for at disse n vektorene skal være lineært uavhengige, må den trivielle løsningen være den eneste løsningen av (1).