matematikk.net

Oppgåve 2.29 Sigma R1
Er eg på villspor eller er dette riktig gjort ?
Vis at n^2 + 2 ikkje er deleleg med 5 for nokon verdiar av n.
n = 5k, k er eit heiltal
Bevis
n^2 + 2 = 5k^2 + 2
= 25k^2 + 2
= 5(5k^2) + 2
Dette medfører at vi aldri får 0 eller 5 som siste siffer
og n^2 + 2 er derfor ikkje deleleg med 5 for nokon verdiar av n

Ser helt riktig ut dette. Jeg ville nok heller konkludert med at "Hvis et tall skal være delelig med 5 må det kunne skrives på formen 5k",og du viser jo at tallet ditt er på formen 5u + 2 (hvor u da er 5k^2 som igjen bare er et tall).

En annen fremgangsmåte er induksjon."

Grunntilfellet $n=1$: Da har vi $1^2 + 2 = 3$ som ikke er delelig med $5$.

Induksjonshypotesen: Vi antar at $k^2 + 2$ aldri er delelelig med 5.

Induksjonssteget: Vi ønsker å vise at dersom $k^2 + 2$ aldri er delelig med $2$ så medfører dette at $(k+1)^2 + 2$ aldri er delelig med $2$. Ved å skrive ut så har vi

$ \hspace{1cm}
(k+1)^2 + 2 = (k^2 + 2k + 1) + 2 = (k^2 + 2) + (2k + 1)
$

For at $(k+1)^2 + 2$ skal være delelig med $5$ må både $(k^2 + 2)$ og $(2k + 1)$ være delelig med 5. Men fra induksjonshypotesen så er $k^2 + 2$ ikke delelig med 2, og dette fullfører beviset.

=============================

Hvorfor fungerer dette? Jo, vi har vist at for $n=1$ så er ikke $n^2 + 1$ delelig med 5. Den siste delen av beviset sier at dersom $n=k$ ikke er delelelig med $5$ så er heller ikke $n=k+1$ delelig med 5. Siden $n=1$ ikke er delelig, så vet vi at $n=1+1$ ikke er delelig. Siden $n=2$ ikke er delelelig så vet vi at $n=2+1$ ikke er delelelig. Osv

Hei!
Tusen takk for god rettleiing og hjelp.
NB! Forstod ikkje heilt kva du meinar med "Jeg ville nok heller konkludert med at "Hvis et tall skal være delelig med 5 må det kunne skrives på formen 5k"

I indusjonssteget skriv du deleleg med 2, men det er vel ein skrive feil det skal vel vere 5.

Fiksa på 2 tallet ja, godt observert Dersom noe skal være delelig på 5, må det kunne skrives på formen $5 \text{noe}$. For eksempel $5k$, $5(2k+1)$ eller $5(k^2+2k+3)$ osv, men det er mer oversiktlig og da forenkle det til $5u$.

Takk for tilbakemeldinga:
Får stadig nye aha opplevingar i emnet.
Det å føle at ein har fått meir kunnskap på emnet,
gjer at ein vil utforske meir og dermed tilegne seg endå meir kunnskap.