matematikk.net

Hei!

Har ligningsettet: x+z=a
y+tz=2a
x+y+3z=b

Og oppgaven spør:"Når har likningssystemet entydig løsnings, ingen løsning og uendelig mange?"

Jeg har brukt eliminasjon og fått det på formen: 1 0 1 a
0 1 t 2a
0 0 2-t b-3a

Jeg vet ikke hva jeg skal sette etter for å finne svaret på spørsmålet?

Takk for svar!

Bruk matrise!

Systemets augmenterte matrise er gitt ved
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & a \\ 0 & 1 & t & 2a \\ 1 & 1 & 3 & b\end{pmatrix}$$
og som du har skrevet kan denne reduseres til
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & a \\0 & 1 & t & 2a \\ 0 & 0 & 2-t & b-3a\end{pmatrix}.$$
Vi må nå begynne å undersøke de forskjellige mulighetene vi har.

Case 1: $b = 3a$.
I dette tilfellet får vi matrisen
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & a \\0 & 1 & t & 2a \\ 0 & 0 & 2-t & 0\end{pmatrix},$$
og vi ser derfor at hvis $t=2$ får vi uendelig mange løsninger (vi kan definere $x$ og $y$ utifra $z$, som vi setter som en parameter). Hvis derimot $t\neq 2$ kan matrisen reduseres til redusert trappeform og vi får én spesifikk løsning, nemlig
$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ 0\end{pmatrix}.$$

Case 2: $b\neq 3a$.
I dette tilfellet ser vi at vi får en selvmotsigelse i nederste rad i matrisen dersom $t-2=0$, så $t=2$ gir ingen løsning. Hvis derimot $t\neq 2$ kan matrisen reduseres til redusert trappeform og vi får nok en gang én spesifikk løsning. Eksplisitt er den gitt ved
$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a - \frac{b-3a}{2-t} \\ 2a - t\frac{b-3a}{2-t} \\ \frac{b-3a}{2-t}\end{pmatrix}.$$

Tusen takk for bra svar!

Jeg lurte videre på om hvorfor vi ønsker å få svaret redusert ned til redusert trappeform?
Matrise regning har gått litt fort for meg, så har ikke vært helt med.

Er det mulig å få et slags kart fra start til slutt om hva man prioriterer, og hvorfor man gjør hvert steg, når en løser et ligningsett via matriser?

Når du har en matrise på trappeform, så vil den nederste raden tilsvare en meget enkel likning. Som regel får du verdien av en av variablene med en gang. Den nest nederste raden vil være en annen likning, gjort lettere av at du vet verdien av den ene variabelen. Og slik fortsetter det.

Har noen videoer om dette her: http://udl.no/v/matematikk-hoyskole-uni ... peform-168