matematikk.net

Jeg lurer på om jeg tenker riktig på følgende oppgaver:

Oppgave 1 La $V$ være et endeligdimensjonalt vektorrom med dualrom $V'$. Gitt $y_0\in V'$ og $x_0\in V$ så definerer vi den lineære transformasjonen $A:V\to V$ ved $Ax=y_0(x)x_0$. Finn et polynom $p$ ulikt $0$ slik at $p(A)=0$. Hva er den laveste graden $p$ kan ha?

Jeg tenker: $A^2x=A(y_0(x)x_0)=y_0[y_0(x)x_0]x_0=y_0(x_0)y_0(x)x_0=y_0(x_0)Ax$. Så vi kan bare velge $p(t)=-y_0(x_0)t+t^2$.


Oppgave 2 Let $A$ be a linear transformation on a vector space $V$, and consider the correspondence that assigns to each linear transformation $X$ on $V$ the linear transformation $AX$. Prove that this correspondence is a linear transformation (on the space of all linear transformations). Can every linear transformation on that space be obtained in this manner (by the choice of a suitable $A$)?

Jeg mener svaret er ja: Hvis vi lar $f_A$ være funksjonen som sender $X\to AX$ så har vi en lineær transformasjon $T$ fra $\operatorname{End}(V)$ til dets duale rom, som tar $A$ til $f_A$ . Siden denne avbildingen er injektiv har $\operatorname{Im} T$ (som også er et vektorrom) samme dimensjon som $\operatorname{End}(V)$, men da må det være hele det duale rommet, og følgelig er $T$ også surjektiv.


Ser det greit ut?

stensrud wrote:Jeg lurer på om jeg tenker riktig på følgende oppgaver:

Oppgave 1 La $V$ være et endeligdimensjonalt vektorrom med dualrom $V'$. Gitt $y_0\in V'$ og $x_0\in V$ så definerer vi den lineære transformasjonen $A:V\to V$ ved $Ax=y_0(x)x_0$. Finn et polynom $p$ ulikt $0$ slik at $p(A)=0$. Hva er den laveste graden $p$ kan ha?

Jeg tenker: $A^2x=A(y_0(x)x_0)=y_0[y_0(x)x_0]x_0=y_0(x_0)y_0(x)x_0=y_0(x_0)Ax$. Så vi kan bare velge $p(t)=-y_0(x_0)t+t^2$.


Oppgave 2 Let $A$ be a linear transformation on a vector space $V$, and consider the correspondence that assigns to each linear transformation $X$ on $V$ the linear transformation $AX$. Prove that this correspondence is a linear transformation (on the space of all linear transformations). Can every linear transformation on that space be obtained in this manner (by the choice of a suitable $A$)?

Jeg mener svaret er ja: Hvis vi lar $f_A$ være funksjonen som sender $X\to AX$ så har vi en lineær transformasjon $T$ fra $\operatorname{End}(V)$ til dets duale rom, som tar $A$ til $f_A$ . Siden denne avbildingen er injektiv har $\operatorname{Im} T$ (som også er et vektorrom) samme dimensjon som $\operatorname{End}(V)$, men da må det være hele det duale rommet, og følgelig er $T$ også surjektiv.


Ser det greit ut?

Regner med at du ikke ønsker noe komplett løsningsforslag, så gir heller noen kommentarer som forhåpentligvis vil oppklare litt.

Oppgave 1: Svaret er nesten riktig, men ikke helt fullstendig. Det vil være noen spesialtilfeller hvor $p$ kan ha lavere grad, avhengig av avbildingen $y_0$.

Oppgave 2: For det første tror jeg du må se en gang til på hva definisjonen til duale rom er. Du skriver eksempelvis at $f_A\in\text{End}(V)'$, hvilket ikke er riktig, ettersom $f_A: X \mapsto AX$, så $f_A \in \text{End}(\text{End}(V))$, hvilket ikke nødvendigvis er det samme vektorrommet som $\text{End}(V)'$. Deretter bruker du rank-nullity til å vise at $T$ er surjektiv, men husk at rank-nullity kun gjelder dersom vi vet at våre vektorrom er endeligdimensjonale! Hvis $V$ er uendeligdimensjonalt må du enten argumentere annerledes eller konstruere et moteksempel.

DennisChristensen wrote: Regner med at du ikke ønsker noe komplett løsningsforslag, så gir heller noen kommentarer som forhåpentligvis vil oppklare litt.

Oppgave 1: Svaret er nesten riktig, men ikke helt fullstendig. Det vil være noen spesialtilfeller hvor $p$ kan ha lavere grad, avhengig av avbildingen $y_0$.

Oppgave 2: For det første tror jeg du må se en gang til på hva definisjonen til duale rom er. Du skriver eksempelvis at $f_A\in\text{End}(V)'$, hvilket ikke er riktig, ettersom $f_A: X \mapsto AX$, så $f_A \in \text{End}(\text{End}(V))$, hvilket ikke nødvendigvis er det samme vektorrommet som $\text{End}(V)'$. Deretter bruker du rank-nullity til å vise at $T$ er surjektiv, men husk at rank-nullity kun gjelder dersom vi vet at våre vektorrom er endeligdimensjonale! Hvis $V$ er uendeligdimensjonalt må du enten argumentere annerledes eller konstruere et moteksempel.

Takk for svar Dennis!

Oppgave 1: Jeg ignorerte tilfellet hvor $y_0=0$ og $p$ får grad $1$ - var det det du tenkte på?

Oppgave 2: Sheit det var i grunn litt talentløst. Forresten så glemte jeg å nevne at $V$ er endeligdimensjonalt - oppgavene er fra "Finite-dimensional vector spaces", så det var implisitt slik det sto i boka. Men for å fikse beviset, eller snarere lage et nytt et:

Med samme notasjon som tidligere er $\operatorname{Im}T\subseteq\operatorname{End}(\operatorname{End}(V))$, men
\[ \dim (\operatorname{End}(\operatorname{End}(V)))=(\dim(\operatorname{End}(V))^2>\dim (\operatorname{Im}T) \]
hvis $\dim V>1$; i hvilket tilfelle utsagnet ikke stemmer. Hvis $\dim V=1$ så stemmer det (kan vel bare se på dimensjonene her også, selv om et mer direkte bevis med basiser ikke ser for vanskelig ut).

Ok?

stensrud wrote:

DennisChristensen wrote: Regner med at du ikke ønsker noe komplett løsningsforslag, så gir heller noen kommentarer som forhåpentligvis vil oppklare litt.

Oppgave 1: Svaret er nesten riktig, men ikke helt fullstendig. Det vil være noen spesialtilfeller hvor $p$ kan ha lavere grad, avhengig av avbildingen $y_0$.

Oppgave 2: For det første tror jeg du må se en gang til på hva definisjonen til duale rom er. Du skriver eksempelvis at $f_A\in\text{End}(V)'$, hvilket ikke er riktig, ettersom $f_A: X \mapsto AX$, så $f_A \in \text{End}(\text{End}(V))$, hvilket ikke nødvendigvis er det samme vektorrommet som $\text{End}(V)'$. Deretter bruker du rank-nullity til å vise at $T$ er surjektiv, men husk at rank-nullity kun gjelder dersom vi vet at våre vektorrom er endeligdimensjonale! Hvis $V$ er uendeligdimensjonalt må du enten argumentere annerledes eller konstruere et moteksempel.

Takk for svar Dennis!

Oppgave 1: Jeg ignorerte tilfellet hvor $y_0=0$ og $p$ får grad $1$ - var det det du tenkte på?

Oppgave 2: Sheit det var i grunn litt talentløst. Forresten så glemte jeg å nevne at $V$ er endeligdimensjonalt - oppgavene er fra "Finite-dimensional vector spaces", så det var implisitt slik det sto i boka. Men for å fikse beviset, eller snarere lage et nytt et:

Med samme notasjon som tidligere er $\operatorname{Im}T\subseteq\operatorname{End}(\operatorname{End}(V))$, men
\[ \dim (\operatorname{End}(\operatorname{End}(V)))=(\dim(\operatorname{End}(V))^2>\dim (\operatorname{Im}T) \]
hvis $\dim V>1$; i hvilket tilfelle utsagnet ikke stemmer. Hvis $\dim V=1$ så stemmer det (kan vel bare se på dimensjonene her også, selv om et mer direkte bevis med basiser ikke ser for vanskelig ut).

Ok?

Oppgave 1: Ja, var bare det jeg tenkte på!

Oppgave 2: Nå ser det etter mitt skjønn fint ut. Du bør riktignok nevne/bevise at $T$ faktisk er lineær, slik at vi vet at å telle dimensjoner slik du har gjort er gyldig.

DennisChristensen wrote: Oppgave 1: Ja, var bare det jeg tenkte på!

Oppgave 2: Nå ser det etter mitt skjønn fint ut. Du bør riktignok nevne/bevise at $T$ faktisk er lineær, slik at vi vet at å telle dimensjoner slik du har gjort er gyldig.

Supert - takk skal du ha