matematikk.net

Sitter fast med denne.

A for x = 2 og det andre større uttrykket for x ikke er lik 2. Har gjort oppgaver med Større/mindre/eller er lik symboler. Da har jeg gått ut i fra denne: lim x->a+ f(x) = x->a- f(x) = L. Dvs at funksjonen f(x) har en grenseverdi L når x=a dersom grenseverdien nærmer seg x=a fra høyre og venstre og er lik L i x=a (Dersom jeg har forstått det riktig ). Jeg ser at det største uttrykket ikke gir noe mening dersom x=2 fordi vi får 0 i nevneren. Men vet ikke videre hvordan jeg løser denne oppgaven? Takker for hjelp.

Oppgaven er: Bestem A slik at funksjonen blir kontinuerlig

Mattehjelpp wrote:Sitter fast med denne.

A for x = 2 og det andre større uttrykket for x ikke er lik 2. Har gjort oppgaver med Større/mindre/eller er lik symboler. Da har jeg gått ut i fra denne: lim x->a+ f(x) = x->a- f(x) = L. Dvs at funksjonen f(x) har en grenseverdi L når x=a dersom grenseverdien nærmer seg x=a fra høyre og venstre og er lik L i x=a (Dersom jeg har forstått det riktig ). Jeg ser at det største uttrykket ikke gir noe mening dersom x=2 fordi vi får 0 i nevneren. Men vet ikke videre hvordan jeg løser denne oppgaven? Takker for hjelp.

Vi har at
$$f(x) = \begin{cases} A & x=2, \\ (x-2)^2\cos\left(\frac{\pi}{x-2}\right) & x \neq 2.\end{cases}$$
Vi må bestemme $A$ slik at $\lim_{x\to 2}f(x) = f(2)$, så vi får at $A = \lim_{x\to 2} (x-2)^2\cos\left(\frac{\pi}{x-2}\right) = 0.$

Den siste likheten følger fra skviseteoremet, ettersom $|\cos\left(\frac{\pi}{x-2}\right)| \leq 1$ for alle $x \neq 2$, og $\lim_{x\to 2} (x-2)^2 = 0$.

DennisChristensen wrote:

Mattehjelpp wrote:Sitter fast med denne.

A for x = 2 og det andre større uttrykket for x ikke er lik 2. Har gjort oppgaver med Større/mindre/eller er lik symboler. Da har jeg gått ut i fra denne: lim x->a+ f(x) = x->a- f(x) = L. Dvs at funksjonen f(x) har en grenseverdi L når x=a dersom grenseverdien nærmer seg x=a fra høyre og venstre og er lik L i x=a (Dersom jeg har forstått det riktig ). Jeg ser at det største uttrykket ikke gir noe mening dersom x=2 fordi vi får 0 i nevneren. Men vet ikke videre hvordan jeg løser denne oppgaven? Takker for hjelp.

Vi har at
$$f(x) = \begin{cases} A & x=2, \\ (x-2)^2\cos\left(\frac{\pi}{x-2}\right) & x \neq 2.\end{cases}$$
Vi må bestemme $A$ slik at $\lim_{x\to 2}f(x) = f(2)$, så vi får at $A = \lim_{x\to 2} (x-2)^2\cos\left(\frac{\pi}{x-2}\right) = 0.$

Den siste likheten følger fra skviseteoremet, ettersom $|\cos\left(\frac{\pi}{x-2}\right)| \leq 1$ for alle $x \neq 2$, og $\lim_{x\to 2} (x-2)^2 = 0$.

Hei! Tusen takk for så raskt svar! Har dessverre en annen oppgave jeg sliter med.

Vis at funksjonen er kontinuerlig:

f(x)=( ln(1+(√|x|))sin(1/x) for x ikke lik 0
( 0 for x= 0

Prøvde å ta grenseverdien når x går mot null til det øverste uttrykket. Ser at -1≤sin(1x)≤1 og at ln(1+√|x|) blir null. Skjønner ikke på hvilken måte jeg skal vise at den er kontinuerlig.. Kunne trengt noen tips.

Mattehjelpp wrote:
Hei! Tusen takk for så raskt svar! Har dessverre en annen oppgave jeg sliter med.

Vis at funksjonen er kontinuerlig:

f(x)=( ln(1+(√|x|))sin(1/x) for x ikke lik 0
( 0 for x= 0

Prøvde å ta grenseverdien når x går mot null til det øverste uttrykket. Ser at -1≤sin(1x)≤1 og at ln(1+√|x|) blir null. Skjønner ikke på hvilken måte jeg skal vise at den er kontinuerlig.. Kunne trengt noen tips.

$$f(x) = \begin{cases} \ln\left(1 + \sqrt{|x|}\right)\sin(\frac{1}{x}) & x\neq 0, \\ 0 & x=0.\end{cases}$$

Først merker vi oss at for $x\neq 0$ er $f$ en endelig komposisjon av kontinuerlige funksjoner, så $f$ er kontinuerlig for $x \neq 0.$ Det gjenstår å vise at $f$ er kontinuerlig for $x=0$, altså må vi vise at $\lim_{x\to 0}f(x) = f(0) = 0.$

Som du har kommentert har vi at $\lim_{x \to 0}\ln\left(1 + \sqrt{|x|}\right) = 0$, og vi vet at for alle $x\neq 0$ har vi at $|\sin\left(\frac{1}{x}\right)| \leq 1.$ Dermed følger det fra skviseteoremet at $$\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} \ln\left(1 + \sqrt{|x|}\right)\sin(\frac{1}{x}) = 0,$$ så $f$ er kontinuerlig for $x=0$. Altså er $f$ kontinuerlig overalt.