matematikk.net

To spørsmål:

1) Find the area R bounded by the coordinate axes and the parabolic arc x=sin[sup]4[/sup]t and y=cos[sup]4[/sup]t

Jeg kjenner til formlene for å finne arealet av slike områder, gitt at det nå ligger i første kvadrant, så blir det A = [itgl][/itgl] y(t)*x'(t) dt fra t=a til t=b.

I dette tilfellet vet jeg ikke t, men disse to trigonometriske funksjonene kan jo ikke variere fra mer enn 0 til 2[pi][/pi], evt. om jeg skal ta med -2[pi][/pi]?

2) Show that the parametric curve x=t[sup]3[/sup]-1 and y=t[sup]2[/sup] have two different tangent lines at (0,1), find the lines and their slopes.

Tenkte da først at jeg måtte finne hvilke t-verdier (0,1) svarte til.
0 = t[sup]3[/sup]-1 og 1 = t[sup]2[/sup]
Dette gir såvidt jeg skjønner bare t-verdien 1, som kan tilfredstille begge.

Dersom jeg setter inn den verdien i formlene for tangent til en parametrisk kurve, får jeg feil, dessuten bare én tangent også.

Hva gjør jeg galt?

1) Du må finne de t-verdiene som gir x=0 og y=0. For t=0 er x=0 og for t=[pi][/pi]/2 er y=0. Dette betyr at når t gjennomløper intervallet [0,[pi][/pi]/2], beveger punktet (sin[sup]4[/sup]t,cos[sup]4[/sup]t) fra (0,1) til (1,0). Så nedre og øvre i "arealintegralet" blir hhv. t=0 og t=[pi][/pi]/2.

2) Du har ikke gjort noe galt! Her er y=(x + 1)[sup]2/3[/sup] og grafen til y har dermed bare en tangent i punktet (0,1). Tangenten er gitt ved likningen y=(2x/3) + 1.

På nr. 2 sier fasiten +/- 1
Når jeg har funnet tangenten på parameterform, hvordan finner jeg da "slope"?

Slope betyr stigningstall på norsk!

Det medfører riktighet.

Så var det denne 1) da.
Dersom jeg har gjort det rett står jeg der med 4 [itgl] [/itgl] cos[sup]5[/sup]t * sin[sup]3[/sup]t dt, fra 0 til [pi][/pi]/2. Dette har jeg problemer med å integrere.

Bruk substitusjonen u=cos[sup]2[/sup]t. Da får du at

4[itgl][/itgl]cos[sup]5[/sup]t*sin[sup]3[/sup]t dt = -2[itgl][/itgl]u[sup]2[/sup](1 - u)du.

Woha, jeg kom i mål!